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Integrais trigonométricas

Integral de sec³ x: fórmula, dedução e exemplos

A integral de sec³ x é ½(sec x tg x + ln|sec x + tg x|) + C. Veja o ciclo da integração por partes passo a passo, a verificação e o comprimento de arco.

Integrais trigonométricas Atualizado 3 min de leitura

Visão geral

\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C
Primitiva
\dfrac{1}{2}\sec x\tan x + \dfrac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C
Método
Integração por partes com u = \sec x, dv = \sec^2 x\,dx
Identidade-chave
\tan^2 x = \sec^2 x - 1
De 0 a π/4
\dfrac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148
Fórmula de redução
\int\sec^n x\,dx = \dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \dfrac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx
Nesta página
  1. Gráfico de sec³ x e a área sob ele
  2. Dedução por partes, passo a passo
  3. Verificação por derivação
  4. Integral definida
  5. Aplicação: integral de √(1 + x²) e comprimento de arco
  6. A fórmula de redução
  7. Erros comuns

A integral de \sec^3 x é \dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C. É o exemplo clássico de integração por partes em que a integral volta ao ponto de partida e você resolve para ela.

\int \sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C

Gráfico de sec³ x e a área sob ele

Área sob y = sec³ x de 0 a π/4
A área sombreada é \frac{\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})}{2} \approx 1.148. A função cresce muito rápido em direção à assíntota em x = \frac{\pi}{2}.

Dedução por partes, passo a passo

Chame a integral de I = \int\sec^3 x\,dx.

  1. Separe \sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x e use a regra da integração por partes com u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x
  2. Aplique \int u\,dv = uv - \int v\,du: I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx
  3. Troque \tan^2 x por \sec^2 x - 1: I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx
  4. A integral original I apareceu do lado direito. Some I aos dois lados: 2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert
  5. Divida por 2 e some C.

O passo 4 usa a integral de sec x. A escolha dv = \sec^2 x\,dx funciona porque \sec^2 x é a parte fácil de integrar, dando \tan x. O guia de integração por partes traz mais exemplos desse ciclo.

Verificação por derivação

Primeiro, pela regra do produto:

\frac{d}{dx}(\sec x\tan x) = \sec x\tan x\cdot\tan x + \sec x\cdot\sec^2 x = \sec x\tan^2 x + \sec^3 x

Troque \tan^2 x por \sec^2 x - 1 para obter 2\sec^3 x - \sec x. A derivada do termo com logaritmo é \sec x. Então

\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(2\sec^3 x - \sec x + \sec x\right) = \sec^3 x \checkmark

Integral definida

Em x = \frac{\pi}{4}: \sec = \sqrt{2}, \tan = 1. Em x = 0: \sec = 1, \tan = 0 e \ln 1 = 0. Então

\int_0^{\pi/4}\sec^3 x\,dx = \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(\sqrt{2} + 1)\right) \approx 1.148

Aplicação: integral de √(1 + x²) e comprimento de arco

Seja x = \tan\theta, dx = \sec^2\theta\,d\theta. Então \sqrt{1 + x^2} = \sec\theta e

\int\sqrt{1 + x^2}\,dx = \int\sec^3\theta\,d\theta = \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C

O comprimento de arco da parábola y = \frac{x^2}{2} de x = 0 a x = 1 é \int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx, que é exatamente a área sombreada acima: cerca de 1.148. Mais sobre isso na lição de comprimento de arco e área de superfície.

A fórmula de redução

Os mesmos passos com \sec^n x dão

\int\sec^n x\,dx = \frac{\sec^{n-2}x\tan x}{n - 1} + \frac{n - 2}{n - 1}\int\sec^{n-2}x\,dx

Com n = 3 esse é o nosso resultado. Com n = 5, ela reduz \sec^5 x a \sec^3 x, que agora você já sabe calcular.

Erros comuns

  1. Usar a regra da potência: \frac{\sec^4 x}{4}. Sua derivada é \sec^4 x\tan x, e não \sec^3 x.
  2. Escolher u = \sec^2 x, dv = \sec x\,dx. Aí v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert, e a nova integral fica muito mais difícil.
  3. Esquecer de dividir por 2 depois de juntar os termos com I.
  4. Perder o termo com logaritmo. O \int\sec x\,dx do passo 3 é fácil de esquecer.

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Perguntas frequentes

Qual é a integral de sec³ x?
É \frac{1}{2}\sec x\tan x + \frac{1}{2}\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C.

Por que não posso usar a regra da potência em sec³ x?
A regra da potência para \int u^3\,du exige que du = \sec x\tan x\,dx esteja na integral. Ele não está, então é preciso usar integração por partes.

Qual é a integral de √(1 + x²)?
Com x = \tan\theta ela vira \int\sec^3\theta\,d\theta. A resposta é \frac{1}{2}x\sqrt{1 + x^2} + \frac{1}{2}\ln\left(x + \sqrt{1 + x^2}\right) + C.

Qual é a integral de sec³ x de 0 a π/4?
É \frac{1}{2}\left(\sqrt{2} + \ln(1 + \sqrt{2})\right) \approx 1.148.

Escrito pela equipe do PracticeCalculus

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