Intégrale de sec³ x (1/cos³ x) : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de \sec^3 x est \dfrac{1}{2}\left(\sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert\right) + C, où sec x désigne 1/cos x. C'est l'exemple classique d'intégration par parties où l'intégrale revient en boucle et où l'on résout une équation pour la trouver.

Graphique de sec³ x et de l'aire sous la courbe

Démonstration par parties, pas à pas

Notons l'intégrale I = \int\sec^3 x\,dx.

1. Écrire \sec^3 x = \sec x\cdot\sec^2 x et appliquer l'intégration par parties avec u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\qquad du = \sec x\tan x\,dx,\quad v = \tan x
2. Appliquer \int u\,dv = uv - \int v\,du : I = \sec x\tan x - \int\sec x\tan^2 x\,dx
3. Remplacer \tan^2 x par \sec^2 x - 1 : I = \sec x\tan x - \int\sec^3 x\,dx + \int\sec x\,dx = \sec x\tan x - I + \int\sec x\,dx
4. L'intégrale de départ I est apparue à droite. On ajoute I aux deux membres : 2I = \sec x\tan x + \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert
5. Diviser par 2 et ajouter C.

L'étape 4 utilise l'intégrale de sec x. Le choix dv = \sec^2 x\,dx fonctionne parce que \sec^2 x est le seul morceau facile à intégrer, en \tan x. Le guide de l'intégration par parties donne d'autres exemples de cette boucle.

Vérification par dérivation

D'abord, avec la règle du produit :

En remplaçant \tan^2 x par \sec^2 x - 1, on obtient 2\sec^3 x - \sec x. Le terme logarithmique se dérive en \sec x. Donc

Intégrale définie

En x = \frac{\pi}{4} : \sec = \sqrt{2}, \tan = 1. En x = 0 : \sec = 1, \tan = 0, et \ln 1 = 0. Donc

Application : intégrale de √(1 + x²) et longueur d'arc

Posons x = \tan\theta, dx = \sec^2\theta\,d\theta. Alors \sqrt{1 + x^2} = \sec\theta et

La longueur de l'arc de parabole y = \frac{x^2}{2} de x = 0 à x = 1 vaut \int_0^1\sqrt{1 + x^2}\,dx, c'est-à-dire exactement l'aire hachurée ci-dessus : environ 1.148. Pour en savoir plus, voir la leçon sur la longueur d'arc et l'aire de surface.

La formule de récurrence

Les mêmes étapes avec \sec^n x donnent

Avec n = 3, c'est notre résultat. Avec n = 5, elle ramène \sec^5 x à \sec^3 x, que vous savez maintenant intégrer.

Erreurs fréquentes

1. Utiliser la règle de la puissance : \frac{\sec^4 x}{4}. Sa dérivée vaut \sec^4 x\tan x, pas \sec^3 x.
2. Choisir u = \sec^2 x, dv = \sec x\,dx. Alors v = \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert, et la nouvelle intégrale est bien plus difficile.
3. Oublier de diviser par 2 après avoir regroupé les termes en I.
4. Perdre le terme logarithmique. Le \int\sec x\,dx de l'étape 3 s'oublie facilement.

Entraînez-vous avec les exercices sur l'intégration par parties.