Dérivée de x : formule, démonstration et exemples
La dérivée de x vaut 1. Démonstration par la limite et la règle de la puissance, puis dérivées de 5x, ax + b et de x par rapport à une autre variable.
Puissances, racines et polynômes Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Dérivée
- 1 pour tout réel x
- Multiple de x
- \dfrac{d}{dx}(ax) = a
- Fonction affine
- \dfrac{d}{dx}(ax + b) = a
- Avec la règle de la puissance
- x = x^1, donc la dérivée vaut 1 \cdot x^0 = 1
- Version intégrale
- \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C
Sur cette page
La dérivée de x vaut 1. La fonction y = x est une droite de pente 1, et la dérivée d'une droite est tout simplement sa pente.
Courbe de x et de sa dérivée
Comme la pente ne change jamais, la dérivée est constante. Prenez deux points quelconques de la droite : la variation verticale est toujours égale à la variation horizontale.
Démonstration par la définition avec une limite
La définition de la dérivée par une limite s'écrit
Avec f(x) = x :
Le h se simplifie avant même le passage à la limite, il n'y a donc aucune forme indéterminée à lever.
Démonstration par la règle de la puissance
Écrivez x sous la forme x^1. La règle de la puissance dit de faire descendre l'exposant puis de le diminuer de un :
On utilise x^0 = 1, ce qui est valable pour tout x \ne 0, et la démonstration par la limite couvre aussi le cas x = 0.
Multiples et fonctions affines
Avec la règle du produit par une constante et la dérivée d'une constante, toute fonction affine se dérive facilement :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| 5x | 5 |
| -x | -1 |
| \frac{x}{3} | \frac{1}{3} |
| 3x - 7 | 3 |
| \pi x + e | \pi |
La dérivée d'une droite y = mx + b vaut toujours m, sa pente. L'ordonnée à l'origine b ne fait que décaler la droite vers le haut ou vers le bas, elle ne change donc pas son inclinaison. Consultez la dérivée d'une constante pour comprendre pourquoi le b disparaît.
Exemples corrigés
Exemple 1 : une somme. Dérivons f(x) = x^2 + 4x - 9 :
Le terme 4x donne 4 et le -9 donne 0. Le terme x^2 utilise la dérivée de x².
Exemple 2 : une vérification avec le produit. Écrivons x^2 = x \cdot x et utilisons la règle du produit :
On retrouve le résultat de la règle de la puissance, ce qui est une bonne vérification.
Exemple 3 : une autre variable. Dans \frac{d}{dt}(xt), où x ne dépend pas de t, on traite x comme une constante : la réponse est x.
Erreurs fréquentes
- Répondre 0. Seules les constantes ont une dérivée égale à 0. La fonction x varie, donc sa dérivée vaut 1.
- Donner x comme réponse. La dérivée de x n'est pas x. C'est vrai pour e^x, pas pour x.
- Garder le terme constant. \frac{d}{dx}(3x + 7) = 3, et non 3 + 7 ou 10.
La question inverse, \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C, est traitée sur la page intégrale de x. Pour vous entraîner, essayez les exercices sur la règle de la puissance.
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