Potenzregel: Aufgaben mit Lösungen und Lösungswegen

Diese Aufgaben zur Potenzregel beginnen mit einzelnen Potenzen und Polynomen und gehen dann zu negativen und gebrochenen Exponenten, zum Umschreiben vor dem Ableiten und zu Tangenten über. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die Regel:

Fast in jeder Aufgabe brauchst du außerdem die Summenregel und die Faktorregel. Zum Auffrischen lies die Seite zur Potenzregel.

Aufgaben

Potenzen und Polynome

1. y = x^7
2. y = 4x^5
3. y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9

Negative und gebrochene Exponenten

4. y = \dfrac{1}{x^3}
5. y = 6\sqrt{x}
6. y = \sqrt[3]{x^2}
7. y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}

Zuerst umschreiben

8. y = (2x + 1)(x - 3)
9. y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}
10. y = x^\pi + \pi^2

Tangenten

11. Bestimme die Tangente an y = x^3 - 2x bei x = 2.
12. Bestimme die Punkte, in denen y = x^3 - 3x^2 eine waagerechte Tangente hat.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Ziehe die 7 nach vorne und verringere den Exponenten um 1:

2. Die Konstante 4 bleibt einfach stehen:

3. Leite Summand für Summand ab. Die Ableitung von 5x ist 5, die Ableitung der Konstanten -9 ist 0:

4. Schreibe um zu y = x^{-3}. Dann ist -3 - 1 = -4:

5. Schreibe um zu y = 6x^{1/2}:

6. Schreibe um zu y = x^{2/3}. Dann ist \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}:

7. Schreibe beide Terme als Potenzen: y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}.

8. Multipliziere zuerst aus: (2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3.

Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Das Ausmultiplizieren umgeht diese Falle, oder du verwendest die Produktregel.

9. Der Nenner besteht aus einem einzigen Term, also teile den Bruch auf:

10. \pi ist ein konstanter Exponent, also gilt die Potenzregel für x^\pi. Der Term \pi^2 \approx 9.87 ist nur eine Zahl, seine Ableitung ist also 0:

11. Der Punkt ist y(2) = 8 - 4 = 4. Die Steigung ist y' = 3x^2 - 2, also y'(2) = 10:

12. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung 0:

Die Punkte sind (0, 0) und (2, 8 - 12) = (2, -4).

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Bei negativen Exponenten in die falsche Richtung gehen. In Aufgabe 4 wird x^{-3} zu -3x^{-4}, nicht zu -3x^{-2}. Eins abziehen heißt auf dem Zahlenstrahl immer nach links gehen.
• Eine Wurzel ohne Umschreiben ableiten. Schreibe \sqrt[3]{x^2} als x^{2/3}, bevor du anfängst.
• Ein Produkt Faktor für Faktor ableiten. In Aufgabe 8 ist (2)(1) = 2 falsch. Multipliziere aus oder verwende die Produktregel.
• \pi^2 wie eine Variable behandeln. In Aufgabe 10 ist \pi^2 eine Konstante, ihre Ableitung ist also 0 und nicht 2\pi.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Zahlen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Potenzregel und danach die Übung zur Potenzregel. Weitere Beispiele und die Begründung der Regel findest du im Leitfaden zur Potenzregel. Als Nächstes probiere die Aufgaben zur Produkt- und Quotientenregel.