Ejercicios resueltos de la regla de la potencia con soluciones

Estos ejercicios de la regla de la potencia empiezan con potencias sueltas y polinomios, y luego pasan a exponentes negativos y fraccionarios, a reescribir antes de derivar y a rectas tangentes. Intenta resolver cada uno primero. Las respuestas aparecen justo después de la lista, y luego las soluciones completas.

La regla:

En casi todos los ejercicios también usarás la regla de la suma y la resta y la regla del múltiplo constante. Si necesitas un repaso, lee la página de la regla de la potencia.

Ejercicios

Potencias y polinomios

1. y = x^7
2. y = 4x^5
3. y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9

Exponentes negativos y fraccionarios

4. y = \dfrac{1}{x^3}
5. y = 6\sqrt{x}
6. y = \sqrt[3]{x^2}
7. y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}

Reescribe primero

8. y = (2x + 1)(x - 3)
9. y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}
10. y = x^\pi + \pi^2

Rectas tangentes

11. Halla la recta tangente a y = x^3 - 2x en x = 2.
12. Halla los puntos donde y = x^3 - 3x^2 tiene recta tangente horizontal.

Respuestas

Soluciones paso a paso

1. Baja el 7 y réstale 1 al exponente:

2. La constante 4 simplemente se mantiene:

3. Deriva término a término. La derivada de 5x es 5 y la derivada de la constante -9 es 0:

4. Reescribe como y = x^{-3}. Entonces -3 - 1 = -4:

5. Reescribe como y = 6x^{1/2}:

6. Reescribe como y = x^{2/3}. Entonces \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}:

7. Reescribe ambos términos como potencias: y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}.

8. Primero desarrolla: (2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3.

La derivada de un producto no es el producto de las derivadas. Desarrollar evita esa trampa, o también puedes usar la regla del producto.

9. El denominador es un solo término, así que separa la fracción:

10. \pi es un exponente constante, así que la regla de la potencia se aplica a x^\pi. El término \pi^2 \approx 9.87 es solo un número, así que su derivada es 0:

11. El punto es y(2) = 8 - 4 = 4. La pendiente es y' = 3x^2 - 2, así que y'(2) = 10:

12. Una tangente horizontal tiene pendiente 0:

Los puntos son (0, 0) y (2, 8 - 12) = (2, -4).

Errores comunes en estos ejercicios

• Ir en la dirección equivocada con exponentes negativos. En el ejercicio 4, x^{-3} se convierte en -3x^{-4}, no en -3x^{-2}. Restar 1 siempre te mueve hacia la izquierda en la recta numérica.
• Derivar una raíz sin reescribirla. Escribe \sqrt[3]{x^2} como x^{2/3} antes de empezar.
• Derivar un producto factor por factor. En el ejercicio 8, (2)(1) = 2 es incorrecto. Desarrolla o usa la regla del producto.
• Tratar \pi^2 como una variable. En el ejercicio 10, \pi^2 es una constante, así que su derivada es 0, no 2\pi.

Sigue practicando

Estos 12 ejercicios usan números fijos. Para practicar sin límite con números nuevos cada vez y corrección al instante, prueba la lección de la regla de la potencia y luego la práctica de la regla de la potencia. Para ver más ejemplos y el razonamiento detrás de la regla, lee la guía de la regla de la potencia. Después, prueba los ejercicios de la regla del producto y del cociente.