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Règle de la puissance : exercices corrigés de dérivation

12 exercices corrigés sur la dérivée de x^n : polynômes, exposants négatifs et fractionnaires, racines et tangentes, avec réponses et solutions détaillées.

Dérivées Mis à jour Lecture : 3 min

En bref

\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}
Exercices
12, avec réponses et solutions complètes
Niveau
Analyse 1 et AP Calculus AB, unité 2
Prérequis
Les règles sur les exposants, surtout \frac{1}{x^n} = x^{-n} et \sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}
Idée principale
Écrire sous forme de puissance de x, descendre l'exposant, puis lui retirer 1
S'entraîner avec de nouveaux nombres
Leçons sur la règle de la puissance
Sur cette page
  1. Exercices
  2. Réponses
  3. Solutions détaillées
  4. Erreurs fréquentes sur ces exercices
  5. Continuer à s'entraîner

Ces exercices sur la règle de la puissance commencent par des puissances simples et des polynômes, puis passent aux exposants négatifs et fractionnaires, aux expressions à réécrire avant de dériver et aux tangentes. Cherchez chaque exercice d'abord. Les réponses suivent la liste, puis viennent les solutions complètes.

La règle :

\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}

Vous utiliserez aussi la dérivée d'une somme et d'une différence et la règle du multiple constant dans presque tous les exercices. Pour un rappel, lisez la page sur la règle de la puissance.

Exercices

Puissances et polynômes

  1. y = x^7
  2. y = 4x^5
  3. y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9

Exposants négatifs et fractionnaires

  1. y = \dfrac{1}{x^3}
  2. y = 6\sqrt{x}
  3. y = \sqrt[3]{x^2}
  4. y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}

Réécrire d'abord

  1. y = (2x + 1)(x - 3)
  2. y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}
  3. y = x^\pi + \pi^2

Tangentes

  1. Déterminez la tangente à y = x^3 - 2x en x = 2.
  2. Déterminez les points où y = x^3 - 3x^2 admet une tangente horizontale.

Réponses

Exercice Réponse
1 7x^6
2 20x^4
3 12x^3 - 6x^2 + 5
4 -\dfrac{3}{x^4}
5 \dfrac{3}{\sqrt{x}}
6 \dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}
7 -\dfrac{10}{x^3} + \dfrac{1}{x^{3/2}}
8 4x - 5
9 2x - \dfrac{4}{x^3}
10 \pi x^{\pi - 1}
11 y = 10x - 16
12 (0, 0) et (2, -4)

Solutions détaillées

1. Descendez le 7 et retirez 1 à l'exposant :

y' = 7x^6

2. La constante 4 reste simplement en facteur :

y' = 4\cdot 5x^4 = 20x^4

3. Dérivez terme à terme. La dérivée de 5x est 5 et celle de la constante -9 est 0 :

y' = 12x^3 - 6x^2 + 5

4. Écrivez y = x^{-3}. Alors -3 - 1 = -4 :

y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}

5. Écrivez y = 6x^{1/2} :

y' = 6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}

6. Écrivez y = x^{2/3}. Alors \frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3} :

y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}

7. Écrivez les deux termes comme des puissances : y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}.

y' = -10x^{-3} - 2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{10}{x^3} + \frac{1}{x^{3/2}}

8. Développez d'abord : (2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3.

y' = 4x - 5

La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Développer évite ce piège, sinon utilisez la règle du produit.

9. Le dénominateur n'a qu'un seul terme, donc séparez la fraction :

y = x^2 - 3 + 2x^{-2} \quad\Rightarrow\quad y' = 2x - 4x^{-3} = 2x - \frac{4}{x^3}

10. \pi est un exposant constant, donc la règle de la puissance s'applique à x^\pi. Le terme \pi^2 \approx 9.87 n'est qu'un nombre, donc sa dérivée vaut 0 :

y' = \pi x^{\pi - 1}

11. Le point est y(2) = 8 - 4 = 4. La pente est y' = 3x^2 - 2, donc y'(2) = 10 :

y - 4 = 10(x - 2) \quad\Rightarrow\quad y = 10x - 16

12. Une tangente horizontale a une pente égale à 0 :

y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 2

Les points sont (0, 0) et (2, 8 - 12) = (2, -4).

Erreurs fréquentes sur ces exercices

  • Se tromper de sens avec les exposants négatifs. Dans l'exercice 4, x^{-3} devient -3x^{-4}, et non -3x^{-2}. Retirer 1 fait toujours aller vers la gauche sur la droite des réels.
  • Dériver une racine sans la réécrire. Écrivez \sqrt[3]{x^2} sous la forme x^{2/3} avant de commencer.
  • Dériver un produit facteur par facteur. Dans l'exercice 8, (2)(1) = 2 est faux. Développez ou utilisez la règle du produit.
  • Traiter \pi^2 comme une variable. Dans l'exercice 10, \pi^2 est une constante, donc sa dérivée vaut 0, et non 2\pi.

Continuer à s'entraîner

Ces 12 exercices utilisent des nombres fixes. Pour un entraînement illimité avec de nouveaux nombres à chaque fois et une correction immédiate, essayez la leçon sur la règle de la puissance, puis l'entraînement sur la règle de la puissance. Pour plus d'exemples et le raisonnement derrière la règle, lisez le guide de la règle de la puissance. Ensuite, essayez les exercices sur les règles du produit et du quotient.

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Questions fréquentes

Quelle est la règle de la puissance pour les dérivées ?
Pour tout réel n, \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}. On descend l'exposant en coefficient, puis on diminue l'exposant de un. Elle fonctionne pour les exposants entiers, négatifs et fractionnaires.

Comment utiliser la règle de la puissance avec une racine carrée ?
Écrivez la racine comme une puissance fractionnaire, par exemple \sqrt{x} = x^{1/2} et \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}. Appliquez ensuite la règle : \frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

La règle de la puissance s'applique-t-elle à e puissance x ?
Non. La règle de la puissance concerne une base variable et un exposant constant, comme x^3. Dans e^x, la variable est dans l'exposant, donc on utilise \frac{d}{dx}e^x = e^x. Pour une constante comme \pi^2, la dérivée vaut 0.

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