Potenzfunktionen f(x) = xⁿ: Graphen, Ableitung, Integral, Regeln
Potenzfunktionen f(x) = xⁿ für natürliche, negative und gebrochene n: Graphen, Definitionsbereich, Ableitung nxⁿ⁻¹, Integral und der Sonderfall n = -1.
Algebraische Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Definitionsbereich
- Alle reellen Zahlen für natürliches n \ge 0; x \ne 0 für negatives n
- Ableitung
- nx^{n-1}
- Integral
- \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
- Sonderfall
- \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C
- Gerade oder ungerade
- Gerade für gerades natürliches n, ungerade für ungerades natürliches n
- Verläuft durch
- (1, 1) für jedes n
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Eine Potenzfunktion potenziert die Eingabe mit einem festen Exponenten: f(x) = x^n. Zu dieser Familie gehören Parabeln, kubische Funktionen, Kehrwerte und Wurzeln, und eine einzige Regel, die Potenzregel, leitet sie alle ab.
Formel
Der Exponent n ist eine Konstante. Allgemeiner ist f(x) = kx^n mit einem konstanten Koeffizienten k. Häufige Vertreter:
| n | Funktion | Name |
|---|---|---|
| 0 | 1 | konstante Funktion |
| 1 | x | Winkelhalbierende (identische Funktion) |
| 2 | x^2 | Normalparabel |
| 3 | x^3 | kubische Funktion |
| -1 | \frac{1}{x} | Kehrwertfunktion |
| \frac{1}{2} | \sqrt{x} | Wurzelfunktion |
Graphen von Potenzfunktionen
So prägt der Exponent den Graphen:
- Gerades natürliches n (x^2, x^4, \ldots): U-förmig, gerade Funktion, Wertebereich [0, \infty).
- Ungerades natürliches n (x^3, x^5, \ldots): S-förmig, ungerade Funktion, Wertebereich alle reellen Zahlen.
- Negatives n (x^{-1}, x^{-2}, \ldots): bei 0 nicht definiert, mit einer senkrechten Asymptote bei x = 0 und der waagerechten Asymptote y = 0.
- Gebrochenes n = \frac{p}{q}: Eine gerade Wurzel (q gerade) schränkt den Definitionsbereich auf x \ge 0 ein; eine ungerade Wurzel erlaubt alle reellen Zahlen.
- Auf (0, 1) sind höhere Potenzen kleiner, auf (1, \infty) sind höhere Potenzen größer.
Ableitung einer Potenzfunktion
Den Exponenten nach vorne ziehen, dann eins abziehen. Das gilt für jede reelle Konstante n, überall dort, wo x^n differenzierbar ist. Für 0 < n < 1, etwa bei \sqrt{x}, wird die Ableitung bei x = 0 unendlich groß, und der Graph hat dort eine senkrechte Tangente.
Integral einer Potenzfunktion
Den Exponenten um eins erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Im Fall n = -1 würde man durch null teilen; stattdessen gilt
Siehe die Potenzregel für Integrale.
Rechenbeispiele
Beispiel 1. \frac{d}{dx}x^7 = 7x^6.
Beispiel 2: negativer Exponent. \frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}.
Beispiel 3: gebrochener Exponent. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}.
Beispiel 4: Integral. \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C.
Beispiel 5: bestimmtes Integral. \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2.
Häufige Fehler
- Die Potenzregel auf 2^x anwenden. Das ist eine Exponentialfunktion; ihre Ableitung ist 2^x\ln 2.
- Bei negativen Exponenten in die falsche Richtung eins abziehen. x^{-3} hat die Ableitung -3x^{-4}, nicht -3x^{-2}.
- Die Integralformel bei n = -1 anwenden. \frac{x^0}{0} ist sinnlos; verwende \ln|x|.
- Nicht vorher umschreiben. Schreibe \frac{1}{x^2} als x^{-2} und \sqrt{x} als x^{1/2}, bevor du eine der Regeln anwendest.
Zusammenhänge
Summen von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten sind ganzrationale Funktionen, und Potenzreihen erweitern diese Idee auf unendlich viele Terme. Eine ausführlichere Anleitung mit Übungsaufgaben findest du im Leitfaden zur Potenzregel und zu Stammfunktionen.
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