Fonctions puissances f(x) = xⁿ : courbes, dérivée, primitive et règles
Les fonctions puissances f(x) = xⁿ pour n entier, négatif ou fractionnaire : courbes, domaines, la dérivée nxⁿ⁻¹, la primitive et l'exception n = -1.
Fonctions algébriques Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Domaine de définition
- Tous les réels pour n \ge 0 entier ; x \ne 0 pour n négatif
- Dérivée
- nx^{n-1}
- Primitive
- \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
- Exception
- \int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C
- Parité
- Paire pour n entier pair, impaire pour n entier impair
- Passe par
- (1, 1) pour tout n
Sur cette page
Une fonction puissance élève la variable à un exposant fixe : f(x) = x^n. Cette famille comprend les paraboles, les cubiques, la fonction inverse et les racines, et une seule règle, la règle de la puissance, permet de dériver chacune d'elles.
Formule
L'exposant n est une constante. Plus généralement, f(x) = kx^n avec un coefficient constant k. Les cas les plus courants :
| n | Fonction | Nom |
|---|---|---|
| 0 | 1 | constante |
| 1 | x | fonction identité |
| 2 | x^2 | fonction carré (parabole) |
| 3 | x^3 | fonction cube |
| -1 | \frac{1}{x} | fonction inverse |
| \frac{1}{2} | \sqrt{x} | racine carrée |
Courbes des fonctions puissances
Comment l'exposant façonne la courbe :
- n entier pair (x^2, x^4, \ldots) : courbe en U, fonction paire, ensemble image [0, \infty).
- n entier impair (x^3, x^5, \ldots) : courbe en S, fonction impaire, ensemble image tous les réels.
- n négatif (x^{-1}, x^{-2}, \ldots) : non définie en 0, avec une asymptote verticale x = 0 et une asymptote horizontale y = 0.
- n = \frac{p}{q} fractionnaire : une racine d'indice pair (q pair) restreint le domaine à x \ge 0 ; une racine d'indice impair autorise tous les réels.
- Sur (0, 1), les puissances élevées sont plus petites ; sur (1, \infty), elles sont plus grandes.
Dérivée d'une fonction puissance
On fait descendre l'exposant, puis on lui retire un. C'est vrai pour toute constante réelle n, partout où x^n est dérivable. Remarquez que pour 0 < n < 1, comme \sqrt{x}, la dérivée tend vers l'infini en x = 0, où la courbe a une tangente verticale.
Primitive d'une fonction puissance
On ajoute un à l'exposant, puis on divise par le nouvel exposant. Le cas n = -1 diviserait par zéro ; à la place,
Voir la règle de la puissance pour les primitives.
Exemples corrigés
Exemple 1. \frac{d}{dx}x^7 = 7x^6.
Exemple 2 : puissance négative. \frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}.
Exemple 3 : puissance fractionnaire. \frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}.
Exemple 4 : primitive. \int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C.
Exemple 5 : intégrale définie. \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2.
Erreurs fréquentes
- Appliquer la règle de la puissance à 2^x. C'est une fonction exponentielle ; sa dérivée est 2^x\ln 2.
- Retirer un à un exposant négatif dans le mauvais sens. La dérivée de x^{-3} est -3x^{-4}, et non -3x^{-2}.
- Appliquer la formule de primitive pour n = -1. \frac{x^0}{0} n'a aucun sens ; utilisez \ln|x|.
- Ne pas réécrire d'abord. Transformez \frac{1}{x^2} en x^{-2} et \sqrt{x} en x^{1/2} avant d'appliquer l'une ou l'autre règle.
Liens avec le reste du cours
Les sommes de fonctions puissances à exposants entiers naturels sont les fonctions polynômes, et les séries entières prolongent cette idée à une infinité de termes. Pour une explication plus détaillée avec des exercices, lisez les guides sur la règle de la puissance et sur les primitives.
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