Integral de 1/√(1−x²): fórmula, pasos y ejemplos

La integral de \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} es \arcsin x + C. Es la inversa de la derivada de arcsen x, y vale en el intervalo -1 < x < 1, donde la raíz cuadrada es real y distinta de cero.

Para cualquier constante a > 0:

Gráfica de 1/√(1−x²)

Cómo integrar 1/√(1−x²) paso a paso

La raíz cuadrada de 1 - x^2 recuerda a la identidad pitagórica 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta, así que haz el cambio x = \sin\theta.

1. Sea x = \sin\theta con -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}. Entonces dx = \cos\theta\,d\theta.
2. Simplifica la raíz. En este intervalo \cos\theta > 0, así que \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta.
3. Integra: \int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C
4. Vuelve a x: \theta = \arcsin x.

Para \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}, usa x = a\sin\theta. Entonces dx = a\cos\theta\,d\theta y \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta. Los dos factores a se cancelan, y por eso el resultado no lleva \frac{1}{a} delante. Es el primer caso de sustitución trigonométrica.

Comprobación derivando

El paso usa a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}, que se cumple porque a > 0.

Integrales definidas

Las dos últimas son integrales impropias, ya que el integrando no está acotado en x = \pm 1. Aun así convergen, porque el crecimiento es solo del orden de \frac{1}{\sqrt{1-x}}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C, usando a = 3.

Ejemplo 2: un coeficiente en x². \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}. Sea u = 2x, du = 2\,dx:

Ejemplo 3: completar el cuadrado. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}. Escribe 4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2 y usa a = 2 y u = x - 2:

Ejemplo 4: una integral definida. \displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Errores comunes

1. Añadir un \frac{1}{a}. Ese factor pertenece a la fórmula de la arcotangente, \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}. La del arcoseno no lo lleva. Compárala con la integral de 1/(1+x²).
2. Recurrir al arcoseno cuando hay una x arriba. \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx es un cambio de variable normal con resultado -\sqrt{1-x^2} + C.
3. Confundir \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} con \sqrt{1-x^2}. La raíz sola da una integral más larga; consulta la integral de √(1−x²).
4. Usar la fórmula fuera de \lvert x\rvert < a. Para \lvert x\rvert > a la raíz no es real. Integrales como \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} dan en cambio \ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert.

Para integrar la propia función arcoseno, consulta la integral de arcsen x. La página del arcoseno trata su dominio y su gráfica.