Intégrale de x² : formule, démonstration et exemples

L'intégrale de x^2 est \dfrac{x^3}{3} + C. On ajoute un à l'exposant et on divise par le nouvel exposant.

Graphique : l'aire sous y = x²

Remarquez que la primitive a une tangente horizontale en x = 0 (là où x^2 = 0) et qu'elle ne décroît jamais, car x^2 n'est jamais négatif.

Démonstration avec la règle de la puissance inverse

1. Partir de la règle de la puissance inverse : \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C pour n \ne -1.
2. Poser n = 2 : le nouvel exposant est 3.
3. Diviser par 3 : \frac{x^3}{3}.
4. Ajouter C.

Une preuve par les sommes de Riemann

On peut aussi trouver l'aire sous x^2 de 0 à b sans connaître de primitive. On découpe [0, b] en n bandes de largeur \frac{b}{n} et on prend les extrémités droites x_i = \frac{bi}{n} :

Quand n \to \infty, la fraction \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} tend vers \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, donc l'aire vaut \frac{b^3}{3}. Cela correspond à la primitive. C'est le même calcul qu'Archimède a fait pour la parabole, et vous pouvez vous y exercer avec le guide sur les sommes de Riemann.

Vérification par dérivation

Voir aussi la dérivée de x².

Variante par changement de variable : intégrale de (ax + b)²

Avec u = ax + b et du = a\,dx :

Par exemple, \int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C. Vérification : la dérivée vaut \frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2.

La même idée s'applique avec un facteur x supplémentaire : \int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C, en posant u = x^2 + 1. Plus de détails sur la page du changement de variable.

Exemples corrigés

Exemple 1. \int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.

Exemple 2. \int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C.

Exemple 3. \int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}. Comme x^2 est paire, c'est le double de \int_0^2 x^2\,dx.

Exemple 4 : volume. En faisant tourner y = x autour de l'axe des x sur [0, h], on obtient un cône de volume \pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}, le fameux \frac{1}{3}\pi r^2 h avec r = h.

Erreurs fréquentes

1. Écrire 2x. C'est la dérivée, pas l'intégrale.
2. Oublier de diviser par 3. x^3 a pour dérivée 3x^2, pas x^2.
3. Intégrer (2x + 1)^2 en \frac{(2x+1)^3}{3}. Il faut aussi diviser par la dérivée de l'intérieur, 2.
4. Élever au carré l'intégrale de x. L'intégrale d'un produit n'est pas le produit des intégrales.

Entraînez-vous avec les exercices sur les primitives et les exercices sur les intégrales définies.