Integral de x²: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de x^2 es \dfrac{x^3}{3} + C. Suma uno al exponente y divide entre el nuevo exponente.

Gráfica: el área bajo y = x²

Fíjate en que la antiderivada es plana en x = 0 (donde x^2 = 0) y nunca decrece, porque x^2 nunca es negativa.

Deducción con la regla de la potencia inversa

1. Parte de la regla de la potencia inversa: \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n \ne -1.
2. Toma n = 2: el nuevo exponente es 3.
3. Divide entre 3: \frac{x^3}{3}.
4. Añade C.

Una demostración con sumas de Riemann

También puedes hallar el área bajo x^2 entre 0 y b sin conocer ninguna antiderivada. Divide [0, b] en n franjas de anchura \frac{b}{n} y usa los extremos derechos x_i = \frac{bi}{n}:

Cuando n \to \infty, la fracción \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} tiende a \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, así que el área es \frac{b^3}{3}. Coincide con la antiderivada. Es el mismo cálculo que hizo Arquímedes con la parábola, y puedes practicarlo en la guía de sumas de Riemann.

Comprobación derivando

Consulta también la derivada de x².

Variante por sustitución: integral de (ax + b)²

Con u = ax + b y du = a\,dx:

Por ejemplo, \int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C. Comprobación: la derivada es \frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2.

La misma idea sirve con un factor x adicional: \int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C, usando u = x^2 + 1. Tienes más en la página de la regla de sustitución.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.

Ejemplo 2. \int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C.

Ejemplo 3. \int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}. Como x^2 es par, esto es el doble de \int_0^2 x^2\,dx.

Ejemplo 4: volumen. Al girar y = x alrededor del eje x en [0, h] se obtiene un cono de volumen \pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}, el conocido \frac{1}{3}\pi r^2 h con r = h.

Errores comunes

1. Escribir 2x. Esa es la derivada, no la integral.
2. Olvidar dividir entre 3. x^3 tiene derivada 3x^2, no x^2.
3. Integrar (2x + 1)^2 como \frac{(2x+1)^3}{3}. También hay que dividir entre la derivada del interior, 2.
4. Elevar al cuadrado la integral de x. Las integrales no se distribuyen sobre los productos.

Practica con los ejercicios de antiderivadas y los ejercicios de integrales definidas.