Integral de x sen x: fórmula, pasos y ejemplos
La integral de x sen x es sen x − x cos x + C. Los pasos de la integración por partes, la comprobación derivando, una gráfica y ejemplos como x² sen x.
Productos e integración por partes Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \sin x - x\cos x + C
- Método
- Integración por partes con u = x, dv = \sin x\,dx
- De 0 a π
- \pi
- De 0 a π/2
- 1
- Con sen(kx)
- \int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C
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La integral de x\sin x es \sin x - x\cos x + C. Es una potencia de x por una función trigonométrica, un problema clásico de integración por partes.
Gráfica de x sen x
Cómo integrar x sen x paso a paso
La fórmula de la integración por partes es \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Elige las partes. u = x y dv = \sin x\,dx. En LIATE las algebraicas van antes que las trigonométricas.
- Halla du y v. du = dx y v = -\cos x, por la integral de sen x.
- Aplica la fórmula. \int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx
- Termina. \int\cos x\,dx = \sin x, así que \int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C
Si eliges en cambio u = \sin x y dv = x\,dx, la integral que queda es \int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx, con una potencia mayor. Esa es la señal para cambiar.
Comprobación derivando
Los términos en \cos x se cancelan, y la regla del producto aplicada a x\cos x aporta el x\sin x.
Integrales definidas
Sea F(x) = \sin x - x\cos x.
| Integral | Cálculo | Valor |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx | F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0 | 1 |
| \int_0^{\pi} x\sin x\,dx | F(\pi) - F(0) = \pi - 0 | \pi |
| \int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi | -3\pi |
| \int_0^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(0) | -2\pi |
En general, el arco de k\pi a (k+1)\pi tiene área (2k+1)\pi, con signo (-1)^k. El área total (sin signo) de 0 a 2\pi es \pi + 3\pi = 4\pi.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un ángulo escalado. \int x\sin 2x\,dx. Con u = x, dv = \sin 2x\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x:
Ejemplo 2: x al cuadrado, con el método tabular. Para \int x^2\sin x\,dx, deriva x^2 hasta llegar a 0 e integra \sin x a la vez, con signos alternos:
| Signo | Derivar | Integrar |
|---|---|---|
| + | x^2 | \sin x |
| - | 2x | -\cos x |
| + | 2 | -\sin x |
| 0 | \cos x |
Multiplica en diagonal:
Ejemplo 3: un volumen. Al girar el primer arco de y = \sin x (de 0 a \pi) alrededor del eje y, el método de las capas da
Consulta la guía de volúmenes de revolución para ver el planteamiento.
Ejemplo 4: un ángulo desplazado. \int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C, ya que el interior tiene pendiente 1.
Errores comunes
- Equivocarse con v. \int\sin x\,dx = -\cos x, no \cos x. La mayoría de los errores en este problema son de signo.
- Perder el doble negativo. -\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx.
- Elegir u = \sin x. La integral que queda contiene entonces x^2.
- Olvidar \frac{1}{k} y \frac{1}{k^2} con \sin kx. Deriva tu resultado para comprobarlo.
Compárala con la integral de x cos x, que sigue los mismos pasos con signos distintos. Tienes más práctica en la guía de integración por partes.
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