Intégrale de x sin x : formule, méthode et exemples
L'intégrale de x sin x vaut sin x − x cos x + C. L'intégration par parties pas à pas, la vérification, un graphique et des exemples comme x² sin x.
Produits et intégration par parties Mis à jour Lecture : 3 min
En bref
- Primitive
- \sin x - x\cos x + C
- Méthode
- Intégration par parties avec u = x, dv = \sin x\,dx
- De 0 à π
- \pi
- De 0 à π/2
- 1
- Avec sin(kx)
- \int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C
Sur cette page
L'intégrale de x\sin x est \sin x - x\cos x + C. C'est une puissance de x multipliée par une fonction trigonométrique : un problème classique d'intégration par parties.
Graphique de x sin x
Comment intégrer x sin x pas à pas
La formule d'intégration par parties est \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Choisir les facteurs. u = x et dv = \sin x\,dx. L'algébrique passe avant la trigonométrie dans LIATE.
- Trouver du et v. du = dx et v = -\cos x, d'après l'intégrale de sin x.
- Appliquer la formule. \int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx
- Terminer. \int\cos x\,dx = \sin x, donc \int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C
Si vous choisissez plutôt u = \sin x et dv = x\,dx, l'intégrale restante est \int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx, avec une puissance plus élevée. C'est le signe qu'il faut inverser.
Vérification par dérivation
Les termes en \cos x se compensent, et la règle du produit appliquée à x\cos x fournit le x\sin x.
Intégrales définies
Notons F(x) = \sin x - x\cos x.
| Intégrale | Calcul | Valeur |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx | F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0 | 1 |
| \int_0^{\pi} x\sin x\,dx | F(\pi) - F(0) = \pi - 0 | \pi |
| \int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi | -3\pi |
| \int_0^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(0) | -2\pi |
En général, la bosse de k\pi à (k+1)\pi a une aire de (2k+1)\pi, de signe (-1)^k. L'aire totale (non algébrique) de 0 à 2\pi vaut \pi + 3\pi = 4\pi.
Exemples corrigés
Exemple 1 : un angle multiplié. \int x\sin 2x\,dx. Avec u = x, dv = \sin 2x\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x :
Exemple 2 : x au carré, avec la méthode du tableau. Pour \int x^2\sin x\,dx, on dérive x^2 jusqu'à obtenir 0 et on intègre \sin x en parallèle, avec des signes alternés :
| Signe | Dériver | Intégrer |
|---|---|---|
| + | x^2 | \sin x |
| - | 2x | -\cos x |
| + | 2 | -\sin x |
| 0 | \cos x |
On multiplie le long des diagonales :
Exemple 3 : un volume. En faisant tourner la première bosse de y = \sin x (de 0 à \pi) autour de l'axe des y, la méthode des coquilles cylindriques donne
Voir le guide des volumes de révolution pour la mise en place.
Exemple 4 : un angle décalé. \int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C, car l'intérieur a une pente de 1.
Erreurs fréquentes
- Se tromper sur v. \int\sin x\,dx = -\cos x, et non \cos x. La plupart des erreurs sur ce problème sont des erreurs de signe.
- Perdre la double négation. -\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx.
- Choisir u = \sin x. L'intégrale restante contient alors x^2.
- Oublier \frac{1}{k} et \frac{1}{k^2} avec \sin kx. Dérivez votre résultat pour vérifier.
Comparez avec l'intégrale de x cos x, qui suit les mêmes étapes avec d'autres signes. Le guide de l'intégration par parties propose davantage d'entraînement.
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