Integral von 2ˣ und aˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von 2^x ist \dfrac{2^x}{\ln 2} + C. Jede Exponentialfunktion a^x wird auf dieselbe Weise integriert: Behalte die Exponentialfunktion und teile durch den natürlichen Logarithmus der Basis.

Die allgemeine Formel gilt für jede Basis a > 0 mit a \ne 1.

Graph von 2ˣ mit der Fläche von 0 bis 1

2ˣ Schritt für Schritt integrieren

Der Trick: Mach aus der Basis ein e, denn Exponentialfunktionen zur Basis e kannst du schon integrieren.

1. Zur Basis e umschreiben. Wegen 2 = e^{\ln 2} gilt 2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}.
2. Integrieren. \ln 2 ist nur eine Konstante, etwa 0.693. Mit \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C von der Seite Integral von e²ˣ: \int e^{x\ln 2}\,dx = \frac{1}{\ln 2}e^{x\ln 2} + C
3. Zurück zur Basis 2. e^{x\ln 2} = 2^x, das Ergebnis ist also \frac{2^x}{\ln 2} + C.

Ersetze überall 2 durch a, und du erhältst die allgemeine Formel. Die Basis muss positiv sein, damit \ln a definiert ist, und a \ne 1, damit \ln a \ne 0 ist. (Für a = 1 ist 1^x = 1 und \int 1\,dx = x + C.)

Probe durch Ableiten

Die Ableitung von 2ˣ ist 2^x\ln 2. Also

Bestimmte Integrale

Vergleiche die zweite Zeile mit einer Summe: 2^0 + 2^1 + 2^2 = 7. Das Integral \frac{7}{\ln 2} ist größer, weil die Fläche auch den Anstieg der Kurve zwischen den ganzen Zahlen mitnimmt. Dieser Gegensatz zwischen Summen und Integralen begegnet dir wieder beim Integralkriterium.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Basis 10. \displaystyle\int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10} + C \approx 0.434\cdot 10^x + C.

Beispiel 2: ein linearer Exponent. \displaystyle\int 2^{3x}\,dx. Setze u = 3x, du = 3\,dx:

Du könntest auch 2^{3x} = 8^x schreiben und \frac{8^x}{\ln 8} erhalten. Wegen \ln 8 = 3\ln 2 stimmen die Ergebnisse überein.

Beispiel 3: ein Bruch als Basis. \displaystyle\int\left(\frac{1}{2}\right)^x dx = \frac{(1/2)^x}{\ln(1/2)} + C = -\frac{2^{-x}}{\ln 2} + C.

Beispiel 4: Basen zusammenfassen. \displaystyle\int 2^x 3^x\,dx = \int 6^x\,dx = \frac{6^x}{\ln 6} + C.

Beispiel 5: eine Substitution. \displaystyle\int x\,2^{x^2}\,dx. Mit u = x^2, du = 2x\,dx:

Häufige Fehler

1. Die Potenzregel verwenden. \int 2^x\,dx \ne \frac{2^{x+1}}{x+1}. Vergleiche \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3}, wo die Variable die Basis ist; siehe Integral von x².
2. Mit \ln 2 multiplizieren statt teilen. Multiplizieren passiert beim Ableiten. Beim Integrieren wird geteilt.
3. \log_{10} verwenden. Die Formel braucht den natürlichen Logarithmus. \int 10^x\,dx = \frac{10^x}{\ln 10}, nicht \frac{10^x}{\log 10} = \frac{10^x}{1}.
4. Die Formel auf x^x anwenden. Steht die Variable in Basis und Exponent, gilt keine der beiden Regeln, und \int x^x\,dx hat keine elementare Lösung.

Mehr zu Basen findest du auf der Seite zu Exponentialfunktionen, den Spezialfall a = e beim Integral von eˣ.