Integral von 1/√(1−x²): Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} ist \arcsin x + C. Es kehrt die Ableitung von arcsin x um und gilt auf dem Intervall -1 < x < 1, wo die Wurzel reell und ungleich null ist.

Für jede Konstante a > 0:

Graph von 1/√(1−x²)

1/√(1−x²) Schritt für Schritt integrieren

Die Wurzel aus 1 - x^2 erinnert an den trigonometrischen Pythagoras 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta, also substituierst du x = \sin\theta.

1. Setze x = \sin\theta mit -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}. Dann ist dx = \cos\theta\,d\theta.
2. Vereinfache die Wurzel. Auf diesem Intervall ist \cos\theta > 0, also \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta.
3. Integriere: \int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C
4. Zurück zu x: \theta = \arcsin x.

Für \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} verwendest du x = a\sin\theta. Dann ist dx = a\cos\theta\,d\theta und \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta. Die beiden Faktoren a kürzen sich, deshalb steht vor dem Ergebnis kein \frac{1}{a}. Das ist der erste Fall der trigonometrischen Substitution.

Probe durch Ableiten

Dieser Schritt verwendet a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}, was wegen a > 0 gilt.

Bestimmte Integrale

Die letzten beiden sind uneigentliche Integrale, da der Integrand bei x = \pm 1 unbeschränkt ist. Sie konvergieren trotzdem, weil er dort nur wie \frac{1}{\sqrt{1-x}} wächst.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C, mit a = 3.

Beispiel 2: ein Koeffizient vor x². \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}. Setze u = 2x, du = 2\,dx:

Beispiel 3: quadratische Ergänzung. \displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}. Schreibe 4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2 und verwende dann a = 2 und u = x - 2:

Beispiel 4: ein bestimmtes Integral. \displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}.

Häufige Fehler

1. Ein \frac{1}{a} ergänzen. Das gehört zur Arkustangens-Formel \int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}. Die Arkussinus-Formel hat keins. Vergleiche mit dem Integral von 1/(1+x²).
2. Zum Arkussinus greifen, obwohl ein x im Zähler steht. \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx ist eine einfache Substitution mit dem Ergebnis -\sqrt{1-x^2} + C.
3. \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} mit \sqrt{1-x^2} verwechseln. Die Wurzel allein hat eine längere Stammfunktion; siehe Integral von √(1−x²).
4. Die Formel außerhalb von \lvert x\rvert < a verwenden. Für \lvert x\rvert > a ist die Wurzel nicht reell. Integrale wie \int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}} ergeben stattdessen \ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert.

Wie man die Arkussinusfunktion selbst integriert, zeigt das Integral von arcsin x. Die Seite zum Arkussinus behandelt Definitionsbereich und Graph.