Integral von √(1−x²): Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von \sqrt{1-x^2} ist \dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{1-x^2} + \arcsin x\right) + C. Es ist das klassische erste Beispiel für eine trigonometrische Substitution, und so beweist die Analysis die Formel für die Kreisfläche.

Für einen Kreis mit Radius a:

Graph: der halbe Einheitskreis

√(1−x²) Schritt für Schritt integrieren

1. Substituieren. Setze x = \sin\theta mit -\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}. Dann ist dx = \cos\theta\,d\theta und \sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta, was auf diesem Intervall nicht negativ ist.
2. Umschreiben. \int \sqrt{1-x^2}\,dx = \int \cos\theta\cdot\cos\theta\,d\theta = \int \cos^2\theta\,d\theta
3. Die Halbwinkelformel verwenden, \cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}, wie auf der Seite Integral von cos²x: \int \cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2} + C
4. Zurück zu x. \theta = \arcsin x, \sin\theta = x und \cos\theta = \sqrt{1-x^2}: \frac{1}{2}\arcsin x + \frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2} + C

Die allgemeine Version verwendet auf dieselbe Weise x = a\sin\theta. Der Leitfaden zur trigonometrischen Substitution behandelt auch die beiden anderen Wurzelformen, \sqrt{a^2+x^2} und \sqrt{x^2-a^2}.

Probe durch Ableiten

Leite jeden Teil ab. Mit der Produktregel:

und \frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. Addiert:

Die Hälfte davon ist \sqrt{1-x^2}, wie es sein soll.

Bestimmte Integrale und die Kreisfläche

Über das ganze Intervall verschwindet der Wurzelterm an beiden Enden:

Verdoppelst du das, um die untere Hälfte mitzunehmen, erhältst du die Fläche des Einheitskreises, \pi. Mit dem Radius a liefern dieselben Schritte \int_{-a}^{a}\sqrt{a^2-x^2}\,dx = \frac{\pi a^2}{2}, ein ganzer Kreis hat also die Fläche \pi a^2.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein Teil des Kreises. Bestimme \int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2}\,dx.

Geometrisch: ein Kreissektor mit 30^\circ und der Fläche \frac{\pi}{12} plus ein Dreieck mit der Fläche \frac{\sqrt{3}}{8}.

Beispiel 2: Radius 3. \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}\,dx = \frac{9\pi}{2}, ein halber Kreis mit Radius 3. Sobald du die Form erkennst, brauchst du keine Stammfunktion.

Beispiel 3: eine allgemeine Stammfunktion. Mit a = 2:

Beispiel 4: den Kreis verschieben. \int_0^2\sqrt{2x - x^2}\,dx. Quadratische Ergänzung: 2x - x^2 = 1 - (x-1)^2. Das ist der halbe Einheitskreis mit Mittelpunkt bei x = 1, das Ergebnis ist also \frac{\pi}{2}.

Häufige Fehler

1. u = 1 - x^2 versuchen. Du bräuchtest ein x\,dx, das zu du passt, und das gibt es nicht.
2. Das Zurücksubstituieren vergessen. Ein Ergebnis in \theta ist nicht fertig. Mit einem rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete x und Hypotenuse 1 liest du \cos\theta = \sqrt{1-x^2} ab.
3. Das \frac{a^2}{2} weglassen. In der allgemeinen Formel trägt der Arkussinus-Term den Faktor \frac{a^2}{2}, nicht \frac{1}{2}.
4. Mit \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} verwechseln. Das ergibt direkt \arcsin x; siehe Integral von 1/√(1−x²).