Integral von x²: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von x^2 ist \dfrac{x^3}{3} + C. Erhöhe den Exponenten um eins und teile durch den neuen Exponenten.

Graph: die Fläche unter y = x²

Beachte, dass die Stammfunktion bei x = 0 waagerecht verläuft (dort ist x^2 = 0) und nie fällt, weil x^2 nie negativ ist.

Herleitung mit der Potenzregel

1. Starte mit der Potenzregel für Integrale: \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C für n \ne -1.
2. Setze n = 2: Der neue Exponent ist 3.
3. Teile durch 3: \frac{x^3}{3}.
4. Ergänze C.

Ein Beweis über Riemann-Summen

Du kannst die Fläche unter x^2 von 0 bis b auch ohne Stammfunktion bestimmen. Teile [0, b] in n Streifen der Breite \frac{b}{n} und verwende die rechten Randpunkte x_i = \frac{bi}{n}:

Für n \to \infty strebt der Bruch \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} gegen \frac{2}{6} = \frac{1}{3}, die Fläche ist also \frac{b^3}{3}. Das passt zur Stammfunktion. Genau diese Rechnung hat schon Archimedes für die Parabel durchgeführt, und du kannst sie im Leitfaden zu Riemann-Summen üben.

Probe durch Ableiten

Siehe auch die Ableitung von x².

Variante mit Substitution: Integral von (ax + b)²

Mit u = ax + b und du = a\,dx:

Zum Beispiel ist \int (2x + 1)^2\,dx = \frac{(2x + 1)^3}{6} + C. Probe: Die Ableitung ist \frac{3(2x+1)^2\cdot 2}{6} = (2x + 1)^2.

Derselbe Gedanke funktioniert mit einem zusätzlichen Faktor x: \int x(x^2 + 1)^2\,dx = \frac{(x^2 + 1)^3}{6} + C, mit u = x^2 + 1. Mehr dazu auf der Seite zur Substitutionsregel.

Rechenbeispiele

Beispiel 1. \int_1^3 x^2\,dx = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3}.

Beispiel 2. \int (x^2 + 3x - 2)\,dx = \frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x + C.

Beispiel 3. \int_{-2}^{2} x^2\,dx = \frac{8}{3} - \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{16}{3}. Da x^2 gerade ist, ist das doppelt so viel wie \int_0^2 x^2\,dx.

Beispiel 4: Volumen. Rotiert y = x auf [0, h] um die x-Achse, entsteht ein Kegel mit dem Volumen \pi\int_0^h x^2\,dx = \frac{\pi h^3}{3}, also das bekannte \frac{1}{3}\pi r^2 h mit r = h.

Häufige Fehler

1. 2x schreiben. Das ist die Ableitung, nicht das Integral.
2. Das Teilen durch 3 vergessen. x^3 hat die Ableitung 3x^2, nicht x^2.
3. (2x + 1)^2 zu \frac{(2x+1)^3}{3} integrieren. Du musst zusätzlich durch die innere Ableitung 2 teilen.
4. Das Integral von x quadrieren. Integrale lassen sich nicht auf Produkte verteilen.

Übe mit den Aufgaben zu Stammfunktionen und den Aufgaben zu bestimmten Integralen.