Integral von cos x: Formel, Herleitung und Beispiele
Das Integral von cos x ist sin x + C. Warum hier kein Minuszeichen auftaucht, die Fläche eines Bogens, cos(ax + b) per Substitution und bestimmte Integrale.
Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- \sin x + C
- Fläche eines Bogens
- \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = 2
- Volle Periode
- \int_0^{2\pi}\cos x\,dx = 0
- Lineare Form
- \int\cos(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\sin(ax + b) + C
- Probe
- \dfrac{d}{dx}\sin x = \cos x
Auf dieser Seite
Das Integral von \cos x ist \sin x + C. Weil die Ableitung von \sin x genau \cos x ist, gehört dieses Integral zu den einfachsten überhaupt.
Graph von cos x und seiner Stammfunktion
Die Stammfunktion \sin x hat ihr Maximum bei x = \frac{\pi}{2}, genau dort, wo \cos x von positiv nach negativ durch null geht.
Herleitung Schritt für Schritt
- Frage dich: Welche Funktion hat die Ableitung \cos x?
- Die Ableitung von sin x ist \cos x.
- Also ist \sin x eine Stammfunktion von \cos x.
- Ergänze C, um alle Stammfunktionen zu erfassen: \sin x + C.
Anders als beim Integral von sin x musst du hier kein Vorzeichen korrigieren.
Probe durch Ableiten
Bestimmte Integrale
| Integral | Wert |
|---|---|
| \int_0^{\pi/2}\cos x\,dx | \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 |
| \int_0^{\pi/6}\cos x\,dx | \frac{1}{2} |
| \int_0^{\pi}\cos x\,dx | 0 |
| \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx | 2 |
Da \cos x gerade ist, gilt \int_{-a}^{a}\cos x\,dx = 2\int_0^a\cos x\,dx = 2\sin a.
Varianten mit Substitution
Mit u = ax + b:
Zum Beispiel ist \int\cos(4x - 1)\,dx = \frac{1}{4}\sin(4x - 1) + C und \int\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x) + C.
Wenn die innere Ableitung als Faktor auftaucht, verwendest du die Substitutionsregel:
Beim letzten ist du = \frac{1}{2\sqrt{x}}dx, also \frac{dx}{\sqrt{x}} = 2\,du.
Rechenbeispiele
Beispiel 1. \int(2\cos x - 3\sin x)\,dx = 2\sin x + 3\cos x + C. Beachte, wie das Minus vor \sin mit dem Minus in -\cos x zusammen +3\cos x ergibt.
Beispiel 2. \int_0^{\pi/4}\cos(2x)\,dx = \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_0^{\pi/4} = \frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{2} = \frac{1}{2}.
Beispiel 3: ein Anfangswertproblem. Ist f'(x) = \cos x und f(0) = 3, dann ist f(x) = \sin x + C und f(0) = C = 3, also f(x) = \sin x + 3.
Beispiel 4: harmonische Schwingung. Hat eine Feder die Geschwindigkeit v(t) = 4\cos(2t) und den Ort s(0) = 0, dann ist s(t) = 2\sin(2t). Die Amplitude ist 2.
Häufige Fehler
- -\sin x schreiben. Das ist die Ableitung von \cos x, nicht das Integral.
- Das Teilen durch a vergessen. \int\cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C, nicht \sin(3x) + C.
- \cos^2 x zu \sin^2 x oder \frac{\cos^3 x}{3} integrieren. Potenzen trigonometrischer Funktionen brauchen Identitäten. Siehe Integral von cos² x.
- \cos(x^2) zu \frac{\sin(x^2)}{2x} integrieren. Durch eine innere Ableitung, die eine Variable enthält, darfst du nicht einfach teilen. \int\cos(x^2)\,dx hat keine elementare Stammfunktion.
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