Integral von sec² x: Formel, Herleitung und Beispiele
Das Integral von sec² x, also 1/cos² x, ist tan x + C. Herleitung über die Ableitung von tan x, die Form sec²(ax) und verwandte Integrale wie tan² x.
Integrale trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- \tan x + C
- Auch geschrieben als
- \int\dfrac{1}{\cos^2 x}\,dx = \tan x + C
- Lineare Form
- \int\sec^2(ax + b)\,dx = \dfrac{1}{a}\tan(ax + b) + C
- Kosekans-Gegenstück
- \int\csc^2 x\,dx = -\cot x + C
- Von 0 bis π/4
- 1
Auf dieser Seite
Das Integral von \sec^2 x ist \tan x + C. Da sec x der Kehrwert von cos x ist, ist das genau das Integral von 1/cos² x. Es kehrt einfach die Ableitung von \tan x um, es gibt also nichts zu rechnen, nur etwas wiederzuerkennen.
Graph von sec² x und seiner Stammfunktion
Der kleinste Wert von \sec^2 x ist 1, bei x = 0. Das passt zur Steigung von \tan x im Ursprung.
Herleitung
- Erinnere dich an die Ableitung von tan x: \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x.
- Also ist \tan x eine Stammfunktion von \sec^2 x.
- Ergänze C: \int\sec^2 x\,dx = \tan x + C.
Falls du vergessen hast, warum \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x gilt, wende die Quotientenregel auf \frac{\sin x}{\cos x} an:
Probe durch Ableiten
Bestimmte Integrale
Jedes Intervall, das bis \pm\frac{\pi}{2} reicht, ergibt ein divergentes uneigentliches Integral, weil \tan x \to \infty.
Varianten mit Substitution
Beispiel 1. \int\sec^2(5x)\,dx = \frac{1}{5}\tan(5x) + C.
Beispiel 2. \int x\sec^2(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\tan(x^2) + C, mit u = x^2.
Beispiel 3. \int\sec^2 x\,e^{\tan x}\,dx = e^{\tan x} + C, mit u = \tan x.
Beispiel 4. \int\frac{\sec^2 x}{\tan x}\,dx = \ln\lvert\tan x\rvert + C, weil der Zähler die Ableitung des Nenners ist.
Verwandte Integrale
Die trigonometrischen Integrale mit Quadraten und Produkten folgen direkt aus den sechs trigonometrischen Ableitungen:
| Integral | Ergebnis | Herkunft |
|---|---|---|
| \int\sec^2 x\,dx | \tan x + C | (\tan x)' = \sec^2 x |
| \int\csc^2 x\,dx | -\cot x + C | (\cot x)' = -\csc^2 x |
| \int\sec x\tan x\,dx | \sec x + C | (\sec x)' = \sec x\tan x |
| \int\csc x\cot x\,dx | -\csc x + C | (\csc x)' = -\csc x\cot x |
| \int\tan^2 x\,dx | \tan x - x + C | \tan^2 x = \sec^2 x - 1 |
Die letzte Zeile wird auf der Seite Integral von tan² x ausgerechnet, die dritte auf der Seite Integral von sec x tan x.
Rechenbeispiel: zwei richtige Ergebnisse
Bestimme \int\sec^2 x\tan x\,dx.
- Mit u = \tan x, du = \sec^2 x\,dx: Das Ergebnis ist \frac{\tan^2 x}{2} + C.
- Mit u = \sec x, du = \sec x\tan x\,dx: Der Integrand ist \sec x\cdot(\sec x\tan x), das Ergebnis also \frac{\sec^2 x}{2} + C.
Beides stimmt. Wegen \sec^2 x = \tan^2 x + 1 unterscheiden sich die beiden Ergebnisse nur um die Konstante \frac{1}{2}, die in C aufgeht.
Häufige Fehler
- Die Potenzregel verwenden: \frac{\sec^3 x}{3}. Dafür müsste die innere Ableitung \sec x\tan x dastehen. Das tut sie nicht.
- 2\sec x\cdot\sec x\tan x angeben. Das ist die Ableitung von \sec^2 x.
- Mit \int\sec x\,dx verwechseln. Das ergibt \ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C. Siehe Integral von sec x.
- Das Teilen durch a vergessen bei \int\sec^2(ax)\,dx.
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