Ableitung von sin x: Formel, Beweis und Beispiele
Die Ableitung von sin x ist cos x. Mit Beweis über den Grenzwert, der Kettenregel für sin(u), einem Graphen und Rechenbeispielen wie sin(3x) und x sin x.
Ableitungen trigonometrischer Funktionen Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Ableitung
- \cos x für jedes reelle x
- Mit Kettenregel
- \dfrac{d}{dx}\sin u = \cos u \cdot u'
- Zweite Ableitung
- -\sin x
- Einheit
- x muss im Bogenmaß angegeben sein
- Als Integral
- \int \sin x\,dx = -\cos x + C
Auf dieser Seite
Die Ableitung von \sin x ist \cos x. Wo die Sinuskurve steigt, ist der Kosinus positiv. Wo sie fällt, ist der Kosinus negativ.
Graph von sin x und seiner Ableitung
Beweis mit dem Differenzenquotienten
Nutze das Additionstheorem \sin(x + h) = \sin x\cos h + \cos x\sin h:
Zwei Standardgrenzwerte schließen den Beweis ab. Für h \to 0 gilt \frac{\sin h}{h} \to 1 (bewiesen mit dem Sandwich-Satz) und \frac{\cos h - 1}{h} \to 0. Also gilt
Der Grenzwert \frac{\sin h}{h} \to 1 gilt nur, wenn h im Bogenmaß gemessen wird. Das ist der eigentliche Grund, warum man in der Analysis im Bogenmaß rechnet.
Mit der Kettenregel: Ableitung von sin(u)
Lass die innere Funktion gleich, mach aus dem Sinus einen Kosinus und multipliziere mit der Ableitung der inneren Funktion. Siehe die Kettenregel.
| Funktion | Innere Funktion u | Ableitung |
|---|---|---|
| \sin(3x) | 3x | 3\cos(3x) |
| \sin(2x) | 2x | 2\cos(2x) |
| \sin(x^2) | x^2 | 2x\cos(x^2) |
| \sin(e^x) | e^x | e^x\cos(e^x) |
| \sin\left(\frac{x}{2}\right) | \frac{x}{2} | \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2}\right) |
Ausführliche Seiten: Ableitung von sin 2x und Ableitung von sin(x²).
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein Produkt. Leite f(x) = x\sin x mit der Produktregel ab:
Beispiel 2: eine Potenz des Sinus. \frac{d}{dx}\sin^3 x = 3\sin^2 x\cos x. Die äußere Funktion ist die dritte Potenz, die innere ist \sin x.
Beispiel 3: eine Tangente. Bei x = \frac{\pi}{3} ist \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} und die Steigung \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}:
Beispiel 4: höhere Ableitungen. Die Ableitungen von \sin x wiederholen sich alle vier Schritte: \cos x, -\sin x, -\cos x, dann wieder \sin x. Die 10. Ableitung ist also dieselbe wie die 2.: -\sin x.
Typische Fehler
- Ein Minuszeichen hinzufügen. \frac{d}{dx}\sin x = \cos x, positiv. Das Minus gehört zur Ableitung von cos x.
- Die innere Funktion verändern. \frac{d}{dx}\sin(3x) ist 3\cos(3x), nicht 3\cos x oder \cos 3.
- \sin^2 x und \sin(x^2) verwechseln. Ihre Ableitungen sind 2\sin x\cos x und 2x\cos(x^2).
- Im Gradmaß rechnen. Im Gradmaß taucht ein zusätzlicher Faktor \frac{\pi}{180} auf.
Die Umkehrung steht auf der Seite zum Integral von sin x. Einen vollständigen Überblick gibt der Artikel über die Ableitungen trigonometrischer Funktionen, üben kannst du mit den Aufgaben zu trigonometrischen Ableitungen.
Jetzt üben
Sinus, Kosinus und Tangens
Löse echte Aufgaben zu diesem Thema mit sofortigem Feedback, Tipps und einem Schritt-für-Schritt-Lösungsweg zu jeder Antwort. Kostenlos, ohne Registrierung.
Diese Lektion üben