Trigonometrische Integrale: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu trigonometrischen Integralen behandeln Potenzen von Sinus und Kosinus, Tangens und Sekans sowie Produkte mit verschiedenen Winkeln. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die Identitäten, die du brauchst:

Aufgaben

Gerade Potenzen: Halbwinkelformeln

1. \displaystyle\int\sin^2 x\,dx
2. \displaystyle\int\cos^2 x\,dx
3. \displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx

Ungerade Potenzen: einen Faktor aufheben

4. \displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx
5. \displaystyle\int\cos^3 x\,dx
6. \displaystyle\int\sin^3 x\,dx
7. \displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx

Tangens und Sekans

8. \displaystyle\int\tan^2 x\,dx
9. \displaystyle\int\sec^4 x\,dx
10. \displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx

Verschiedene Winkel und bestimmte Integrale

11. \displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx
12. \displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Verwende die Halbwinkelformel:

Mehr dazu beim Integral von sin² x.

2. Dieselbe Idee mit Pluszeichen:

3. Verwende \sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x, also \sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x. Wende dann die Halbwinkelformel mit dem Winkel 2x an:

4. Setze u = \sin x, also du = \cos x\,dx:

5. Hebe ein \cos x auf und schreibe \cos^2 x = 1 - \sin^2 x. Mit u = \sin x:

6. Hebe ein \sin x auf und schreibe \sin^2 x = 1 - \cos^2 x. Mit u = \cos x, du = -\sin x\,dx:

7. Der Sinus hat die ungerade Potenz, also hebe ein \sin x auf: \sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x. Mit u = \cos x:

8. Verwende \tan^2 x = \sec^2 x - 1:

9. Hebe \sec^2 x für du auf und schreibe das andere \sec^2 x = 1 + \tan^2 x. Mit u = \tan x:

10. Hebe \sec x\tan x für du mit u = \sec x auf. Das übrige \tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1:

11. Verwende die Produktformel \sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big]:

12. Nach Aufgabe 1:

Das passt: Auf [0, \pi] hat \sin^2 x den Mittelwert \frac{1}{2}, und \frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Bei einer geraden Potenz substituieren. \int\sin^2 x\,dx ist nicht \frac{\sin^3 x}{3}. Es gibt keinen Faktor \cos x, der du liefern könnte.
• Die Vorzeichen der Halbwinkelformeln verwechseln. \sin^2 bekommt das Minus, \cos^2 das Plus. Prüfe mit x = 0: \sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}.
• Den Faktor aus der Kettenregel vergessen. \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, nicht \sin 2x.
• Keinen Faktor aufheben. In Aufgabe 6 müssen alle drei Sinusfaktoren verwendet werden: einer für du, zwei werden in Kosinus umgewandelt.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Aufgaben mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu trigonometrischen Integralen. Sieh dir auch das Integral von tan² x und das Integral von sec³ x an. Wenn du \sqrt{a^2 - x^2} oder x^2 + a^2 siehst, geht es weiter mit den Aufgaben zur trigonometrischen Substitution.