Integral von e^(−x): Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von e^{-x} ist -e^{-x} + C. Der einzige Unterschied zum Integral von eˣ ist das Minuszeichen, das von der -1 im Exponenten kommt.

Graph von e⁻ˣ und seine Fläche

e^{-x} beschreibt exponentiellen Zerfall: Die Funktion startet bei x = 0 mit 1 und verliert bei jedem Schritt um eine Einheit denselben Anteil ihrer Höhe. Durch dieses gleichmäßige Schrumpfen ergibt der unendlich lange Ausläufer eine endliche Fläche.

e⁻ˣ Schritt für Schritt integrieren

1. Setze u = -x. Dann ist du = -dx, also dx = -du.
2. Schreibe um: \displaystyle\int e^{-x}\,dx = -\int e^u\,du.
3. Integriere: -e^u + C.
4. Rücksubstituieren: -e^{-x} + C.

Das ist der Fall k = -1 der Regel \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C von der Seite Integral von e²ˣ. Für Zerfallsraten k > 0 gilt:

Probe durch Ableiten

Die beiden Minuszeichen heben sich auf. Siehe Ableitung von e⁻ˣ.

Bestimmte und uneigentliche Integrale

Von 0 bis 1: \left[-e^{-x}\right]_0^1 = -e^{-1} + 1 = 1 - \frac{1}{e} \approx 0.632.

Von 0 bis ∞: Das ist ein uneigentliches Integral, also bildest du einen Grenzwert:

Eine Zerfallsrate k. \int_0^\infty e^{-kx}\,dx = \frac{1}{k} für k > 0. Multipliziert mit k ergibt sich \int_0^\infty ke^{-kx}\,dx = 1, die Gesamtwahrscheinlichkeit der Exponentialverteilung, mit der man Wartezeiten beschreibt.

Halbwertszeit. \int_0^{\ln 2} e^{-x}\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. Die Hälfte der Gesamtfläche liegt vor x = \ln 2 \approx 0.693.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein skalierter Exponent. \displaystyle\int e^{-x/3}\,dx = -3e^{-x/3} + C.

Beispiel 2: x mal e⁻ˣ. Verwende partielle Integration mit u = x und dv = e^{-x}\,dx, also du = dx und v = -e^{-x}:

Von 0 bis \infty ergibt das 0 - (-1) = 1, weil xe^{-x} \to 0 für x \to \infty.

Beispiel 3: ein Medikament im Blut. Ein Medikament wird mit der Rate 40e^{-0.5t} mg pro Stunde abgebaut. Die in den ersten 4 Stunden abgebaute Menge ist

Beispiel 4: Hyperbelfunktionen. \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, also

Häufige Fehler

1. Das Minuszeichen weglassen. \int e^{-x}\,dx ist nicht e^{-x} + C. Leite dein Ergebnis ab: Es sollte +e^{-x} herauskommen.
2. \frac{e^{-x+1}}{-x+1} schreiben. Das ist die Potenzregel, angewandt auf eine Exponentialfunktion, und das ist nie richtig.
3. Das uneigentliche Integral für divergent halten. Das Intervall ist unendlich, die Fläche aber 1. Bilde einen Grenzwert und hör nicht bei „unendlich“ auf.
4. e^{-x} mit e^{-x^2} verwechseln. Die Glockenkurve e^{-x^2} hat keine elementare Stammfunktion; siehe Integral von e^(x²).

Mehr zu Produkten wie xe^{-x} findest du beim Integral von x eˣ.