Integral von sin² x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \sin^2 x ist \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C. Der Schlüssel ist eine Formel zur Potenzreduktion, die das Quadrat in etwas verwandelt, das du summandenweise integrieren kannst.

Graph von sin² x und seiner Stammfunktion

Der Graph von \sin^2 x schwingt mit der Periode \pi zwischen 0 und 1, symmetrisch um y = \frac{1}{2}. Deshalb wächst die Stammfunktion im Mittel wie \frac{x}{2}.

Herleitung Schritt für Schritt

1. Starte mit der Doppelwinkelformel \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x.
2. Löse nach \sin^2 x auf: \sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}.
3. Setze in das Integral ein: \int\sin^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int(1 - \cos 2x)\,dx
4. Integriere jeden Summanden. \int 1\,dx = x und \int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}, nach dem Integral von cos x mit a = 2.
5. Fasse zusammen: \frac{1}{2}\left(x - \frac{\sin 2x}{2}\right) + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C.

Mit \sin 2x = 2\sin x\cos x kannst du das Ergebnis auch als \frac{1}{2}(x - \sin x\cos x) + C schreiben.

Probe durch Ableiten

Die andere Richtung steht auf der Seite zur Ableitung von sin² x: \frac{d}{dx}\sin^2 x = \sin 2x.

Bestimmte Integrale

Zur letzten Zeile: \frac{\pi/4}{2} - \frac{\sin(\pi/2)}{4} = \frac{\pi}{8} - \frac{1}{4} \approx 0.143.

Eine Abkürzung: Über eine volle Periode haben \sin^2 x und \cos^2 x dieselbe Fläche, und zusammen integrieren sie die 1. Also bekommt jede der beiden die halbe Intervalllänge.

Varianten mit Substitution

Für \sin^2(ax) verwendest du \sin^2(ax) = \frac{1 - \cos 2ax}{2}:

Also ist \int\sin^2(3x)\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 6x}{12} + C.

Wenn ein Faktor \cos x dasteht, brauchst du die Identität nicht und substituierst u = \sin x:

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Mittelwert. Der Mittelwert von \sin^2 x auf [0, 2\pi] ist \frac{1}{2\pi}\cdot\pi = \frac{1}{2}. Deshalb taucht bei der Wechselstromleistung der Faktor \frac{1}{2} auf (und beim Effektivwert \frac{1}{\sqrt{2}}).

Beispiel 2: Volumen. Rotiert ein Bogen von y = \sin x um die x-Achse, entsteht ein Körper mit dem Volumen \pi\int_0^\pi\sin^2 x\,dx = \frac{\pi^2}{2}.

Beispiel 3: sin⁴ x. Quadriere die Identität: \sin^4 x = \frac{(1 - \cos 2x)^2}{4} = \frac{1}{4} - \frac{\cos 2x}{2} + \frac{\cos^2 2x}{4}, und reduziere dann \cos^2 2x noch einmal. Das Ergebnis ist \frac{3x}{8} - \frac{\sin 2x}{4} + \frac{\sin 4x}{32} + C.

Häufige Fehler

1. \frac{\sin^3 x}{3} angeben. Die Ableitung davon ist \sin^2 x\cos x, nicht \sin^2 x.
2. -\cos^2 x angeben. Die Ableitung davon ist 2\sin x\cos x = \sin 2x.
3. Das falsche Vorzeichen in der Identität. Für \sin^2 ist es 1 - \cos 2x, für \cos^2 ist es 1 + \cos 2x.
4. Beim Integrieren von \cos 2x vergessen, \sin 2x durch 2 zu teilen. Dann steht am Ende \frac{\sin 2x}{2} statt \frac{\sin 2x}{4}.

Als Nächstes: Das Integral von cos² x funktioniert nach demselben Prinzip. Übe mit den Aufgaben zu trigonometrischen Integralen.