Integral von √x: Formel, Herleitung und Beispiele

Das Integral von \sqrt{x} ist \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C. Der Trick besteht darin, die Quadratwurzel zuerst als Potenz zu schreiben.

Graph von √x und die Fläche darunter

Die schraffierte Fläche passt in ein Rechteck mit den Seiten 4 und 2 und dem Flächeninhalt 8. Sie füllt genau zwei Drittel davon aus, und daher kommt das \frac{2}{3}.

Herleitung Schritt für Schritt

1. Schreibe die Wurzel um: \sqrt{x} = x^{1/2}.
2. Wende die Potenzregel für Integrale mit n = \frac{1}{2} an.
3. Erhöhe den Exponenten um eins: \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
4. Teile durch \frac{3}{2}, also multipliziere mit \frac{2}{3}: \frac{2}{3}x^{3/2}.
5. Ergänze C.

Eine zweite Herleitung: Fläche in waagerechten Streifen

Das \frac{2}{3} lässt sich auch ganz ohne Regel einsehen. Die Kurve y = \sqrt{x} ist für y \ge 0 dieselbe wie x = y^2. Zeichne das Rechteck von (0, 0) bis (b, \sqrt{b}). Die Kurve teilt es in zwei Teile. Das Stück zwischen Kurve und y-Achse ist die Fläche unter x = y^2 von y = 0 bis y = \sqrt{b}, also nach dem Integral von x² gleich \frac{(\sqrt{b})^3}{3}. Das ganze Rechteck hat den Inhalt b\sqrt{b}, die Fläche unter \sqrt{x} ist also der Rest:

Das stimmt mit der Formel überein. Außerdem sieht man, warum sich die beiden Flächen im Verhältnis 1 : 2 aufteilen.

Probe durch Ableiten

Die Regel in der anderen Richtung findest du auf der Seite zur Ableitung von √x.

Andere Wurzeln und Potenzen von x

Dieselbe Methode funktioniert für jede Wurzel. Umschreiben, Exponent erhöhen und teilen:

Variante mit Substitution: Integral von √(ax + b)

Setze u = ax + b, also du = a\,dx:

Zum Beispiel ist \int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C. Probe: \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}.

Ein Klassiker: \int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C, mit u = x^2 + 1.

Beispiele für bestimmte Integrale

Beispiel 1. \int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}.

Beispiel 2. \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2. Das ist ein uneigentliches Integral, weil \frac{1}{\sqrt{x}} bei 0 unbeschränkt wird, die Fläche ist aber trotzdem endlich.

Beispiel 3. \int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}.

Häufige Fehler

1. Die Potenzregel direkt auf das Wurzelzeichen anwenden. Schreibe zuerst x^{1/2}.
2. Durch \frac{1}{2} statt durch \frac{3}{2} teilen. Du teilst durch den neuen Exponenten, nicht durch den alten.
3. \frac{3}{2}x^{3/2} schreiben. Durch \frac{3}{2} teilen ergibt \frac{2}{3}, nicht \frac{3}{2}.
4. \sqrt{x^2 + 1} wie \sqrt{x} integrieren. Bei einer nichtlinearen inneren Funktion ohne passenden Faktor scheitert die Substitution. Dieses Integral braucht eine trigonometrische Substitution.

Übe mit den Aufgaben zu Stammfunktionen.