Potenzen, Wurzeln und rationale Funktionen

Integral einer Konstanten \int k\,dx = kx + C Das Integral einer Konstanten k ist kx + C, das Integral von 1 ist x + C. Mit Begründung, Flächenbild, bestimmten Integralen und typischen Fehlern. Integral von x \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C Das Integral von x ist x²/2 + C. Begründung mit der Potenzregel und einem Dreieck, dazu bestimmte Integrale, die lineare Form ax + b und typische Fehler. Integral von x² \int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C Das Integral von x² ist x³/3 + C. Mit Potenzregel, Beweis über Riemann-Summen, bestimmten Integralen, der Form (ax + b)² und typischen Fehlern. Integral von √x \int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C Das Integral von √x ist (2/3)x^(3/2) + C. Schreib die Wurzel als Potenz, mach die Probe und sieh dir Beispiele zu √(ax + b), 1/√x und bestimmten Integralen an. Integral von 1/x \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C Das Integral von 1/x ist ln|x| + C. Warum die Potenzregel hier versagt, woher der Betrag kommt und wie du 1/(ax + b) und f'/f integrierst. Integral von 1/x² \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C Das Integral von 1/x² ist -1/x + C. Schreib es als x^(-2), mach die Probe und sieh dir uneigentliche Integrale bis unendlich und die Falle von -1 bis 1 an. Integral von |x| \int \lvert x\rvert\,dx = \frac{x\lvert x\rvert}{2} + C Das Integral von |x| ist x|x|/2 + C. Wie du bei null aufteilst, warum das Ergebnis nicht |x²/2| ist und wie du Integrale wie |x - 1| von 0 bis 4 berechnest. Integral von x/(x² + 1) \int \frac{x}{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(x^2 + 1\right) + C Das Integral von x/(x² + 1) ist ½ ln(x² + 1) + C. Die Substitution Schritt für Schritt, warum kein Betrag nötig ist, und verwandte Integrale wie 1/(x² + 1). Integral von 1/(x² - 1) \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C Das Integral von 1/(x² - 1) ist ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Partialbruchzerlegung Schritt für Schritt, die allgemeine Formel für 1/(x² - a²) und Beispiele.