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Produkte und partielle Integration

Integral von x cos x: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von x cos x ist x sin x + cos x + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, Probe, Graph, bestimmte Integrale und Beispiele wie x² cos x.

Produkte und partielle Integration Aktualisiert 3 Min. Lesezeit

Auf einen Blick

\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C
Stammfunktion
x\sin x + \cos x + C
Methode
Partielle Integration mit u = x, dv = \cos x\,dx
Von 0 bis π/2
\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571
Von 0 bis π
-2
Mit cos(kx)
\int x\cos kx\,dx = \frac{x}{k}\sin kx + \frac{1}{k^2}\cos kx + C
Auf dieser Seite
  1. Graph von x cos x und seiner Stammfunktion
  2. x cos x Schritt für Schritt integrieren
  3. Probe durch Ableiten
  4. Bestimmte Integrale
  5. Rechenbeispiele
  6. Häufige Fehler

Das Integral von x\cos x ist x\sin x + \cos x + C. Wie bei x\sin x ist es eine Potenz von x mal eine trigonometrische Funktion, also erledigt partielle Integration mit u = x es in einem Schritt.

\int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C

Graph von x cos x und seiner Stammfunktion

y = x cos x und seine Stammfunktion x sin x + cos x
Die schraffierte Fläche von 0 bis \frac{\pi}{2} ist \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571. Die gestrichelte Stammfunktion hat Hoch- und Tiefpunkte genau dort, wo x\cos x null wird.

x cos x Schritt für Schritt integrieren

Verwende partielle Integration, \int u\,dv = uv - \int v\,du.

  1. Die Teile wählen. u = x und dv = \cos x\,dx.
  2. du und v bestimmen. du = dx und v = \sin x, nach dem Integral von cos x.
  3. Die Formel anwenden. \int x\cos x\,dx = x\sin x - \int\sin x\,dx
  4. Abschließen. \int\sin x\,dx = -\cos x, und das abzuziehen ergibt +\cos x: \int x\cos x\,dx = x\sin x + \cos x + C

u = x ist die richtige Wahl, weil die Ableitung 1 ist und das x damit verschwindet. Mit u = \cos x würde die Potenz auf x^2 steigen.

Probe durch Ableiten

\frac{d}{dx}\left(x\sin x + \cos x\right) = \sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x

Das \sin x aus der Produktregel hebt das -\sin x aus \cos x auf.

Bestimmte Integrale

Sei F(x) = x\sin x + \cos x.

Integral Rechnung Wert
\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) \frac{\pi}{2} - 1
\int_0^{\pi} x\cos x\,dx (0 - 1) - (0 + 1) -2
\int_{\pi/2}^{3\pi/2} x\cos x\,dx \left(-\frac{3\pi}{2}\right) - \frac{\pi}{2} -2\pi
\int_{-a}^{a} x\cos x\,dx ungerader Integrand 0

Die letzte Zeile nutzt die Symmetrie: x\cos x ist ungerade (eine ungerade mal eine gerade Funktion), also heben sich die Flächen auf beiden Seiten auf.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: ein skalierter Winkel. \int x\cos 3x\,dx. Mit u = x und v = \frac{1}{3}\sin 3x:

\frac{x}{3}\sin 3x - \frac{1}{3}\int\sin 3x\,dx = \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C

Beispiel 2: x zum Quadrat. \int x^2\cos x\,dx. Erster Durchgang mit u = x^2, v = \sin x:

\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx

Das Integral von x sin x ist \sin x - x\cos x, also

\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C

Beispiel 3: ein linearer Faktor. \int(2x - 1)\cos x\,dx. Mit u = 2x - 1, du = 2\,dx:

(2x-1)\sin x - 2\int\sin x\,dx = (2x - 1)\sin x + 2\cos x + C

Beispiel 4: ein Fourier-Koeffizient. Bei Fourierreihen begegnen dir Integrale wie \int_{-\pi}^{\pi}x\cos(nx)\,dx. Der Integrand ist ungerade, also ist das Ergebnis für jede ganze Zahl n gleich 0, ganz ohne partielle Integration.

Beispiel 5: ein verstecktes Produkt. \int x\cos^2 x\,dx. Schreibe \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} (siehe Integral von cos²x), dann

\int\frac{x}{2}\,dx + \frac{1}{2}\int x\cos 2x\,dx = \frac{x^2}{4} + \frac{x}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\cos 2x + C

Häufige Fehler

  1. x\sin x - \cos x schreiben. Der Rest ist -\int\sin x\,dx = -(-\cos x) = +\cos x.
  2. Mit x\sin x verwechseln. Hier ist v = \sin x ohne Vorzeichenwechsel; bei x\sin x ist v = -\cos x.
  3. Faktorweise integrieren. \frac{x^2}{2}\sin x ist nicht das Ergebnis; leite es ab, dann siehst du warum.
  4. Das \frac{1}{k^2} beim zweiten Term weglassen, wenn der Winkel kx ist.

Mehr Übung bieten die Übungsaufgaben zur partiellen Integration.

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Häufig gestellte Fragen

Was ist das Integral von x cos x?
Es ist x\sin x + \cos x + C.

Was ist das Integral von x cos x von 0 bis π?
Es ist -2. Die Stammfunktion ist \pi\cdot 0 + \cos\pi = -1 bei \pi und 0 + \cos 0 = 1 bei 0, das Ergebnis ist also -1 - 1 = -2.

Was ist das Integral von x² cos x?
Es ist x^2\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C. Integriere zweimal partiell, beginnend mit u = x^2.

Was ist das Integral von x cos(3x)?
Es ist \frac{x}{3}\sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x + C.

Geschrieben vom PracticeCalculus-Team

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