Integral von x sin x: Formel, Rechenweg und Beispiele
Das Integral von x sin x ist sin x − x cos x + C. Die partielle Integration Schritt für Schritt, die Probe durch Ableiten, ein Graph und Beispiele wie x² sin x.
Produkte und partielle Integration Aktualisiert 3 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Stammfunktion
- \sin x - x\cos x + C
- Methode
- Partielle Integration mit u = x, dv = \sin x\,dx
- Von 0 bis π
- \pi
- Von 0 bis π/2
- 1
- Mit sin(kx)
- \int x\sin kx\,dx = -\frac{x}{k}\cos kx + \frac{1}{k^2}\sin kx + C
Auf dieser Seite
Das Integral von x\sin x ist \sin x - x\cos x + C. Eine Potenz von x mal eine trigonometrische Funktion ist eine klassische Aufgabe für partielle Integration.
Graph von x sin x
x sin x Schritt für Schritt integrieren
Die Formel der partiellen Integration lautet \int u\,dv = uv - \int v\,du.
- Die Teile wählen. u = x und dv = \sin x\,dx. In LIATE kommt algebraisch vor trigonometrisch.
- du und v bestimmen. du = dx und v = -\cos x, nach dem Integral von sin x.
- Die Formel anwenden. \int x\sin x\,dx = x(-\cos x) - \int(-\cos x)\,dx = -x\cos x + \int\cos x\,dx
- Abschließen. \int\cos x\,dx = \sin x, also \int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C
Wählst du stattdessen u = \sin x und dv = x\,dx, ist das Restintegral \int\frac{x^2}{2}\cos x\,dx, mit einer höheren Potenz. Das ist das Signal zum Tauschen.
Probe durch Ableiten
Die \cos x-Terme heben sich auf, und die Produktregel auf x\cos x liefert das x\sin x.
Bestimmte Integrale
Sei F(x) = \sin x - x\cos x.
| Integral | Rechnung | Wert |
|---|---|---|
| \int_0^{\pi/2} x\sin x\,dx | F\!\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = 1 - 0 | 1 |
| \int_0^{\pi} x\sin x\,dx | F(\pi) - F(0) = \pi - 0 | \pi |
| \int_\pi^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(\pi) = -2\pi - \pi | -3\pi |
| \int_0^{2\pi} x\sin x\,dx | F(2\pi) - F(0) | -2\pi |
Allgemein hat der Bogen von k\pi bis (k+1)\pi die Fläche (2k+1)\pi, mit dem Vorzeichen (-1)^k. Die Gesamtfläche (nicht orientiert) von 0 bis 2\pi ist \pi + 3\pi = 4\pi.
Rechenbeispiele
Beispiel 1: ein skalierter Winkel. \int x\sin 2x\,dx. Mit u = x, dv = \sin 2x\,dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x:
Beispiel 2: x zum Quadrat, mit dem Tabellenverfahren. Für \int x^2\sin x\,dx leitest du x^2 bis zur 0 ab und integrierst daneben \sin x, mit abwechselnden Vorzeichen:
| Vorzeichen | Ableiten | Integrieren |
|---|---|---|
| + | x^2 | \sin x |
| - | 2x | -\cos x |
| + | 2 | -\sin x |
| 0 | \cos x |
Multipliziere entlang der Diagonalen:
Beispiel 3: ein Volumen. Rotiert der erste Bogen von y = \sin x (von 0 bis \pi) um die y-Achse, liefert die Zylindermantelmethode
Den Ansatz erklärt der Leitfaden zu Rotationsvolumen.
Beispiel 4: ein verschobener Winkel. \int x\sin(x + 1)\,dx = \sin(x+1) - x\cos(x+1) + C, da die innere Funktion die Steigung 1 hat.
Häufige Fehler
- v falsch bestimmen. \int\sin x\,dx = -\cos x, nicht \cos x. Die meisten Fehler bei dieser Aufgabe sind Vorzeichenfehler.
- Das doppelte Minus verlieren. -\int(-\cos x)\,dx = +\int\cos x\,dx.
- u = \sin x wählen. Das Restintegral enthält dann x^2.
- \frac{1}{k} und \frac{1}{k^2} bei \sin kx vergessen. Leite dein Ergebnis zur Kontrolle ab.
Vergleiche mit dem Integral von x cos x, das mit denselben Schritten und anderen Vorzeichen funktioniert. Mehr Übung bietet der Leitfaden zur partiellen Integration.
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