Integral von x² eˣ: Formel, Rechenweg und Beispiele

Das Integral von x^2e^x ist (x^2 - 2x + 2)e^x + C. Man braucht zweimal partielle Integration, und es ist das Standardbeispiel für das Tabellenverfahren.

Graph von x² eˣ und seiner Stammfunktion

x² eˣ Schritt für Schritt integrieren

Verwende partielle Integration, \int u\,dv = uv - \int v\,du, jedes Mal mit der Potenz von x als u.

1. Erster Durchgang. u = x^2, dv = e^x\,dx, also du = 2x\,dx und v = e^x: \int x^2e^x\,dx = x^2e^x - 2\int xe^x\,dx
2. Zweiter Durchgang. Du kennst schon \int xe^x\,dx = (x-1)e^x vom Integral von x eˣ. Sonst verwende noch einmal u = x, dv = e^x\,dx.
3. Zusammensetzen. x^2e^x - 2(x - 1)e^x + C = (x^2 - 2x + 2)e^x + C

Die Abkürzung mit dem Tabellenverfahren

Wenn ein Faktor durch Ableiten null wird und sich der andere immer wieder leicht integrieren lässt, legst du eine Tabelle an. Leite x^2 in der linken Spalte ab, integriere e^x in der rechten und ordne abwechselnde Vorzeichen zu:

Multipliziere jeden Eintrag links mit dem Eintrag rechts eine Zeile tiefer, mit dem Vorzeichen der linken Zeile:

Die Lektion Mehrfache partielle Integration und LIATE übt dieses Verfahren.

Probe durch Ableiten

Alles außer x^2 hebt sich weg. Eine schöne Merkhilfe: Das Polynom p(x) = x^2 - 2x + 2 erfüllt p + p' = x^2.

Bestimmte Integrale

Von 0 bis 1:

Von −∞ bis 0: Für x \to -\infty gilt (x^2 - 2x + 2)e^x \to 0, das Integral ist also 2 - 0 = 2.

Mit abklingender Exponentialfunktion. \int x^2e^{-x}\,dx = -(x^2 + 2x + 2)e^{-x} + C, also

Das ist ein Spezialfall des Ergebnisses zur Gammafunktion, \int_0^\infty x^ne^{-x}\,dx = n!. Warum der Grenzwert im Unendlichen 0 ist, erklärt der Leitfaden zu uneigentlichen Integralen.

Das Muster für xⁿ eˣ

Jede weitere Potenz von x fügt der Tabelle eine Zeile hinzu:

Das Polynom ist x^n minus seine Ableitung plus seine zweite Ableitung und so weiter, mit abwechselnden Vorzeichen.

Rechenbeispiele

Beispiel 1: eine schnellere Exponentialfunktion. \int x^2e^{2x}\,dx. Beim Tabellenverfahren lautet die rechte Spalte e^{2x}, \frac{1}{2}e^{2x}, \frac{1}{4}e^{2x}, \frac{1}{8}e^{2x}:

Beispiel 2: ein quadratisches Polynom. \int(x^2 + 1)e^x\,dx. Hier ist p = x^2 + 1, und das Muster liefert (p - p' + p'')e^x = (x^2 + 1 - 2x + 2)e^x = (x^2 - 2x + 3)e^x + C.

Beispiel 3: zuerst substituieren. \int x^3e^{x^2}\,dx. Setze w = x^2, dw = 2x\,dx, dann ist das Integral \frac{1}{2}\int we^w\,dw = \frac{1}{2}(x^2 - 1)e^{x^2} + C.

Häufige Fehler

1. Nach einem Durchgang aufhören. In x^2e^x - 2\int xe^x\,dx steckt noch ein Integral.
2. Den Faktor 2 verlieren. Der erste Durchgang liefert 2x, und die 2 multipliziert das ganze zweite Ergebnis.
3. Falsche Vorzeichen in der Tabelle. Die Vorzeichen wechseln +, -, +, beginnend mit der obersten Zeile.
4. u = e^x wählen. Die Potenz von x steigt dann, statt zu fallen.

Mehr Übung: die Übungsaufgaben zur partiellen Integration.