Heidelberg Analysis II (MA2): Themen, Lernhilfe und Übungen

Analysis II (MA2) ist an der Universität Heidelberg das zweite Analysis-Modul nach MA1. Es läuft jedes Sommersemester mit vier Stunden Vorlesung und zwei Stunden Übung pro Woche und bringt 8 Leistungspunkte. Diese Lernhilfe verbindet die Themen von MA2 mit Übungen auf PracticeCalculus, damit du partielle Ableitungen, Extremwerte und Wegintegrale durch eigenes Rechnen sicher beherrschst.

Was Analysis II abdeckt

Die Modulbeschreibung nennt als Lerninhalte:

• metrische und normierte Räume
• gewöhnliche Differentialgleichungen und den Satz von Picard-Lindelöf
• Differentialrechnung in höheren Dimensionen: partielle und totale Ableitung, Extremwerte, Taylorreihe
• Satz von der impliziten Funktion, Umkehrsatz, Untermannigfaltigkeiten, Extrema mit Nebenbedingungen
• Wegintegrale, Vektorfelder, Rotation und Divergenz

Wie in MA1 werden alle Resultate mit vollständigen Beweisen vermittelt. Ziel ist Grundwissen über gewöhnliche Differentialgleichungen und die Differential- und Integralrechnung in mehreren Variablen sowie das selbständige Beweisen und Lösen von Aufgaben mit Präsentation in den Übungen.

Im amerikanischen System entspricht der Rechenteil grob dem Differentialteil von Calculus 3 mit Kurvenintegralen und einem Einstieg in Differentialgleichungen. Mehrfachintegrale über Gebiete und die großen Integralsätze stehen nicht in der Inhaltsliste von MA2.

Themenübersicht MA2

MA1 und MA2 im Vergleich

Für die Informatik gibt es außerdem das Modul Mathematik für Informatik 2 (IMI2), das die Analysis einer Variablen und Grundlagen der mehrdimensionalen Analysis in einem Semester behandelt. Welche Module für deinen Studiengang gelten, regelt die Prüfungsordnung.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von MA2

1. Kritischer Punkt. Für f(x,y) = x^2 + 3y^2 - 2x ist \nabla f = (2x - 2, 6y) = 0 bei (1, 0). Die Hesse-Matrix

ist positiv definit, also liegt bei (1, 0) ein lokales Minimum mit f(1,0) = -1.

2. Implizite Funktion. Auf x^2 + y^2 = 25 gilt nahe (3, 4)

3. Rotation. Für F(x,y,z) = (-y, x, 0) ist

So läuft Analysis II gut

• Lineare Algebra wach halten. Die totale Ableitung ist eine lineare Abbildung, Extremwerte entscheidet die Hesse-Matrix. Eigenwerte und Definitheit aus MA4 brauchst du ständig.
• Rechnen automatisieren. Kurze tägliche Einheiten auf PracticeCalculus machen partielle Ableitungen und Gradienten zur Routine, damit in den Übungen Zeit für die Beweise bleibt.
• Bilder zu den Sätzen. Zum Satz über implizite Funktionen gehört das Bild einer Niveaulinie, die lokal ein Funktionsgraph ist. Mit Bild ist der Beweis leichter.
• Formeln sammeln. Unser Formelblatt ist ein guter Grundstock für die eigene Übersicht.

Tipp: Lagrange-Multiplikatoren sind die Rechenseite des Satzes über Extrema mit Nebenbedingungen. Übe zuerst das Rechnen mit der Lektion Lagrange-Multiplikatoren, dann fällt der Beweis leichter.