UZH Analysis II MAT 122: Themen, Lernhilfe und Übungen

MAT 122 Analysis II setzt an der Universität Zürich im Frühjahrssemester die Analysis I fort. Das Modul ist eine Vorlesung mit integrierter Übung für Mathematikstudierende im 1. Studienjahr und bringt 12 ECTS-Punkte. Diese Lernhilfe verbindet jedes Thema aus dem Vorlesungsverzeichnis mit einer passenden Übung auf PracticeCalculus und sagt ehrlich, wo wir noch keine Lektion haben.

Was MAT 122 abdeckt

Das Vorlesungsverzeichnis listet für Analysis II einen dichten Stoffplan:

• Topologie des euklidischen Raums
• Differentialrechnung mehrerer Variablen, Taylorentwicklung, lokales Verhalten einer Abbildung und Konvexität
• Satz über die Umkehrabbildung und Satz über implizite Funktionen
• Untermannigfaltigkeiten des euklidischen Raums und lokale Extrema mit Nebenbedingungen
• Vektoranalysis mit Vektorfeldern, Rotation, Divergenz und Gradient
• elementare Lösungsmethoden für gewöhnliche Differentialgleichungen, lineare Systeme und das Exponential einer Matrix
• Existenz- und Eindeutigkeitssatz, differenzierbare Abhängigkeit und der Fluss eines Vektorfeldes
• Folgen und Reihen von Funktionen sowie Fourierreihen

Im amerikanischen System entspricht der rechnerische Kern dem ersten Teil von Calculus 3: partielle Ableitungen, Gradient, Extrema und Lagrange-Multiplikatoren. Dazu kommen Themen, die in den USA in eigenen Kursen stehen, etwa Differentialgleichungen und Fourierreihen. Mehrfachintegrale stehen nicht im Stoffplan von MAT 122.

Themenübersicht MAT 122

Für Topologie, den Umkehrsatz, implizite Funktionen, Untermannigfaltigkeiten, lineare Systeme mit Matrixexponential, den Existenz- und Eindeutigkeitssatz und Fourierreihen haben wir noch keine eigenen Lektionen. Diese Teile sind sehr theoretisch und werden am besten mit Skript und Übungsserien erarbeitet.

Analysis I und II an der UZH im Vergleich

Anders als in Analysis I wird in MAT 122 nicht mehr nur gerechnet, sondern viel mit Abbildungen zwischen Räumen verschiedener Dimension gearbeitet. Die Taylorentwicklung aus dem ersten Semester taucht dabei in mehreren Variablen wieder auf.

Beispielaufgaben auf dem Niveau von MAT 122

1. Gradient. Für f(x,y) = x^2 y - y^3 ist

2. Divergenz. Für das Vektorfeld F(x,y,z) = (xy,\, yz,\, zx) gilt

3. Extremum mit Nebenbedingung. Maximiere f(x,y) = xy unter x + y = 4. Aus \nabla f = \lambda \nabla g folgt y = \lambda und x = \lambda, also x = y = 2 und

So läuft Analysis II an der UZH gut

• Die Übungen von Anfang an abgeben. Ohne mindestens 50 % versuchsweise gelöste Aufgaben gibt es keine Zulassung zur Modulprüfung. Eine feste Wochenroutine nimmt hier den Druck heraus.
• Lineare Algebra auffrischen. Das Differential ist eine lineare Abbildung, und bei Differentialgleichungssystemen brauchst du Eigenwerte. Lücken aus Lineare Algebra I rächen sich hier schnell.
• Rechentechnik nebenher trainieren. Partielle Ableitungen und Gradienten sollten automatisch gehen. Kurze Einheiten auf PracticeCalculus helfen, damit die Konzentration für die Beweise frei bleibt.
• Bilder zeichnen. Höhenlinien, Gradienten und Vektorfelder versteht man am schnellsten mit einer Skizze.

Tipp: Bei Extrema mit Nebenbedingungen lohnt es sich, das Resultat zum Schluss in die Nebenbedingung einzusetzen. So fällt ein Rechenfehler sofort auf.