Konstantenregel beim Ableiten: Warum die Ableitung von c null ist
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung jeder Konstanten 0 ist. Die Formel, ein einzeiliger Beweis, Beispiele mit π und e und typische Fehler.
Ableitungsregeln Aktualisiert 2 Min. Lesezeit
Auf einen Blick
- Anwendbar auf
- Jeden Ausdruck, der nicht von x abhängt, etwa 7, \pi, e^2 oder \ln 5
- In Worten
- Eine Konstante ändert sich nie, also ist ihre Änderungsrate null
- Bedeutung am Graphen
- Der Graph von y = c ist eine waagerechte Gerade und hat überall die Steigung 0
- Gegenstück beim Integrieren
- \int 0\,dx = C, deshalb enden Stammfunktionen mit +\,C
- Verwandte Regeln
- Potenzregel, Faktorregel, Summenregel
Auf dieser Seite
Die Konstantenregel besagt, dass die Ableitung einer Konstanten null ist. Eine Konstante ändert sich nie, also ist ihre Änderungsrate überall 0. Sie ist die einfachste Ableitungsregel und steckt still in fast jeder Ableitung, die du berechnest.
Die Formel der Konstantenregel
Für jede Konstante c gilt:
"Konstante" bedeutet alles, was nicht von der Variablen abhängt, nach der du ableitest. Dazu gehören gewöhnliche Zahlen, aber auch Ausdrücke wie \pi^2, e^3, \sqrt{7}, \sin 1 und \ln 5.
Beispiele
| Funktion | Warum sie konstant ist | Ableitung |
|---|---|---|
| 7 | Eine Zahl | 0 |
| -12.5 | Eine Zahl | 0 |
| \pi | Eine Zahl, ungefähr 3.14 | 0 |
| e^3 | Nirgends ein x | 0 |
| \ln 5 | Nirgends ein x | 0 |
| \sin\frac{\pi}{6} | Gleich \frac{1}{2} | 0 |
Beispiel: ein konstanter Summand in einem Polynom. Mit der Summenregel wird jeder Summand einzeln abgeleitet, und der konstante Summand fällt weg:
Beispiel: ein Parameter. Sind a und b Konstanten, dann gilt
Das a^2 sieht aus wie eine Potenz, hängt aber nicht von x ab und ist daher eine Konstante.
Warum die Konstantenregel gilt
Verwende die Definition der Ableitung über den Grenzwert mit f(x) = c:
Du kannst sie auch als Spezialfall der Potenzregel sehen: c = c\,x^0, und \frac{d}{dx}\,c\,x^0 = c \cdot 0 \cdot x^{-1} = 0 (für x \ne 0).
Addierte und multiplizierte Konstanten
Hier trifft die Konstantenregel auf die Faktorregel:
| Ausdruck | Ableitung | Grund |
|---|---|---|
| x^3 + 5 | 3x^2 | Eine addierte Konstante verschwindet |
| 5x^3 | 15x^2 | Ein konstanter Faktor bleibt |
| 5 | 0 | Konstantenregel |
| 5x | 5 | Konstantes Vielfaches von x |
Verschiebst du einen Graphen durch Addieren einer Konstanten nach oben oder unten, ändert sich seine Steigung nirgends, und genau deshalb verschwinden addierte Konstanten. Streckst du einen Graphen um einen Faktor, wird jede Steigung mit diesem Faktor multipliziert, deshalb bleiben konstante Faktoren erhalten.
Die Konstantenregel rückwärts
Weil jede Konstante die Ableitung 0 hat, teilen sich viele Funktionen dieselbe Ableitung: x^2, x^2 + 1 und x^2 - 8 ergeben abgeleitet alle 2x. Beim Integrieren musst du daher eine beliebige Konstante addieren:
Mehr dazu, warum das +\,C nötig ist, findest du unter Stammfunktionen.
Häufige Fehler
- Konstante Ausdrücke wie Variablen behandeln. \frac{d}{dx}\,e^2 = 0, nicht 2e oder e^2. Der Exponent ist eine Zahl, nicht x.
- Einen konstanten Faktor zu null machen. \frac{d}{dx}\,4x = 4, nicht 0. Nur eine alleinstehende oder addierte Konstante wird zu 0.
- Verwechseln, welche Variable sich ändert. \frac{d}{dx}\,t^2 = 0, wenn t eine Konstante ist, aber \frac{d}{dt}\,t^2 = 2t. Prüfe immer die Variable im Nenner von \frac{d}{d\square}.
Die Konstantenregel wird meist mit der Potenzregel und der Summenregel kombiniert. Im vollständigen Leitfaden zur Potenzregel kannst du alle drei zusammen üben.
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