Potenzreihen: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Potenzreihen behandeln Konvergenzradius und Konvergenzintervall, das Prüfen der Randpunkte und das Aufbauen neuer Reihen aus der geometrischen Reihe. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Zuerst kommen die Ergebnisse, dann die vollständigen Lösungen.

Die beiden Werkzeuge:

Weitere Beispiele findest du im Leitfaden zu Potenzreihen.

Aufgaben

Konvergenzradius und Konvergenzintervall

1. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}
2. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
3. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n
4. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}
5. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}
6. \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}
7. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n
8. \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}

Reihen aufbauen

9. Bestimme eine Potenzreihe für \dfrac{1}{1 - 3x} und ihren Radius.
10. Bestimme eine Potenzreihe für \dfrac{x}{1 + x^2} und ihren Radius.
11. Leite \frac{1}{1 - x} ab, um eine Reihe für \frac{1}{(1 - x)^2} zu erhalten. Berechne damit \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}.
12. Integriere eine Reihe für \frac{1}{1 + x}, um eine Reihe für \ln(1 + x) zu erhalten.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Quotient: \left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|. Also |x| < 1 und R = 1. Bei x = 1: \sum\frac{1}{n} divergiert. Bei x = -1: \sum\frac{(-1)^n}{n} konvergiert nach dem Leibniz-Kriterium. Intervall [-1, 1).

2. Quotient: \frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1 für jedes x. Also R = \infty. Das ist die Reihe für e^x.

3. Quotient: (n + 1)|x| \to \infty für jedes x \neq 0. Die Reihe konvergiert nur im Entwicklungspunkt.

4. Das ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten \frac{x - 2}{3}. Sie konvergiert für |x - 2| < 3, also -1 < x < 5. An beiden Randpunkten sind die Glieder (\pm 1)^n, die nicht gegen 0 gehen, also divergiert die Reihe dort.

5. Quotient: \frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|, also R = 1. Bei x = \pm 1 konvergiert \sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2} absolut, da \sum\frac{1}{n^2} konvergiert. Beide Randpunkte gehören dazu.

6. Das ist eine geometrische Reihe mit dem Quotienten -\frac{x^2}{4}. Sie konvergiert für \frac{x^2}{4} < 1, also |x| < 2. Bei x = \pm 2 sind die Glieder (-1)^n, und die Reihe divergiert.

7. Quotient: \frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|, die Reihe konvergiert also für |x + 1| < 1, das heißt -2 < x < 0. An beiden Randpunkten wachsen die Glieder n(\pm 1)^n, also divergiert die Reihe dort.

8. Quotient: \frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|. Löse |2x - 1| < 1: 0 < x < 1, mit Entwicklungspunkt \frac{1}{2} und R = \frac{1}{2}. Bei x = 1: \sum\frac{1}{n} divergiert. Bei x = 0: \sum\frac{(-1)^n}{n} konvergiert. Intervall [0, 1).

9. Ersetze in der geometrischen Reihe x durch 3x:

10. Ersetze x durch -x^2 und multipliziere dann mit x:

11. Leite beide Seiten von \frac{1}{1 - x} = \sum x^n ab:

Multipliziere mit x: \sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}. Bei x = \frac{1}{2} ergibt das \frac{1/2}{1/4} = 2.

12. \frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n. Integriere von 0 bis x:

Eine Indexverschiebung liefert die Form aus der Tabelle. Der Radius bleibt 1.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die Randpunkte überspringen. Die Aufgaben 1, 5 und 8 haben alle R = 1 oder R = \frac{1}{2}, verhalten sich an den Rändern aber verschieden.
• Den Entwicklungspunkt vergessen. In Aufgabe 4 ist der Entwicklungspunkt 2, das Intervall ist also 2 \pm 3 und nicht \pm 3.
• Falscher Radius bei 2x. In Aufgabe 8 bedeutet |2x - 1| < 1 dasselbe wie |x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}, also R = \frac{1}{2} und nicht 1.
• x im Grenzwert stehen lassen. Im Quotientenkriterium ist |x| eine Konstante. Bilde den Grenzwert für n und löse dann nach x auf.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Reihen mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zu Potenzreihen und Konvergenzradius. Danach lernst du mit den Aufgaben zu Taylorreihen, für jede Funktion eine Reihe aufzustellen.