Volumen von Rotationskörpern: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zu Rotationskörpern behandeln die Scheiben-, Ring- und Zylindermantelmethode, Rotation um die y-Achse und Rotation um Geraden, die keine Koordinatenachsen sind. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Die drei Formeln für Rotation um die x-Achse oder die y-Achse:

Bilder zu jeder Schnittart findest du im Leitfaden zu Rotationskörpern.

Aufgaben

Scheiben um die x-Achse

1. y = \sqrt{x}, 0 \le x \le 4, um die x-Achse
2. y = x^2, 0 \le x \le 1, um die x-Achse
3. y = \sqrt{9 - x^2}, -3 \le x \le 3, um die x-Achse
4. y = \sin x, 0 \le x \le \pi, um die x-Achse

Ringe

5. Das Gebiet zwischen y = x und y = x^2, um die x-Achse
6. Das Gebiet zwischen y = \sqrt{x} und y = x, um die x-Achse

Um die y-Achse

7. Das Gebiet zwischen y = x^2, y = 4 und der y-Achse (x \ge 0), um die y-Achse, mit Scheiben
8. Das Gebiet unter y = x - x^2 auf [0, 1], um die y-Achse, mit Zylindermänteln
9. Das Gebiet unter y = x^2 auf [0, 2], um die y-Achse, mit Zylindermänteln

Andere Achsen

10. Das Gebiet zwischen y = x und y = x^2, um die Gerade y = -1
11. Das Gebiet zwischen y = x^2 und y = 1, um die Gerade y = 1

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. Jeder Schnitt ist eine Scheibe mit Radius \sqrt{x}:

2. Der Radius ist x^2, also R^2 = x^4:

3. Das Quadrat des Radius ist 9 - x^2:

Das ist eine Kugel mit Radius 3, und \frac{4}{3}\pi(3)^3 = 36\pi. Eine gute Kontrolle.

4. Verwende \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}:

5. Auf [0, 1] ist die Gerade y = x weiter von der Achse entfernt, also R = x und r = x^2:

6. Auf [0, 1] gilt \sqrt{x} \ge x, also R = \sqrt{x} und r = x:

7. Schneide waagerecht. In der Höhe y ist der Radius x = \sqrt{y}, also R^2 = y:

8. Ein Zylindermantel bei x hat den Radius x und die Höhe x - x^2:

9. Ein Zylindermantel bei x hat den Radius x und die Höhe x^2:

Die Aufgaben 7 und 9 beschreiben verschiedene Körper, die zufällig dasselbe Volumen haben. Aufgabe 7 ist der Körper, der die Paraboloid-Schale ausfüllt, Aufgabe 9 der Körper unter der Schale, zwischen Schale und dem Zylinder x = 2. Zusammen füllen sie einen Zylinder mit Radius 2 und Höhe 4, dessen Volumen 16\pi beträgt.

10. Miss von y = -1 aus. Der äußere Radius ist x + 1, der innere Radius x^2 + 1:

11. Das Gebiet grenzt an die Gerade y = 1, also verwende Scheiben. Der Radius ist 1 - x^2, und die Kurven schneiden sich bei x = \pm 1:

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• (R - r)^2 schreiben. In Aufgabe 5 liefert \pi\int(x - x^2)^2\,dx den Wert \frac{\pi}{30} statt \frac{2\pi}{15}. Quadriere jeden Radius einzeln.
• Von der falschen Achse aus messen. In Aufgabe 10 sind die Radien x + 1 und x^2 + 1, nicht x und x^2.
• Das \pi oder das 2\pi vergessen. Die Formeln für Scheiben und Ringe beginnen mit \pi, die Formel für Zylindermäntel mit 2\pi.
• Variablen mischen. Bei waagerechten Schnitten muss alles in y stehen, auch die Grenzen.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Körper mit sofortigem Feedback probiere die Lektion zur Scheibenmethode, die Lektion zur Ringmethode und die Lektion zu Querschnitten. Reicht ein Gebiet bis ins Unendliche, zeigen dir die Aufgaben zu uneigentlichen Integralen, wie du damit umgehst.