Aufgaben zur Fläche zwischen zwei Kurven mit Lösungen

Diese Aufgaben zur Fläche zwischen Kurven beginnen mit einfachen Flächen und führen weiter zu sich schneidenden Kurven und zur Integration nach y. Versuch jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen vorne, damit du schnell vergleichen kannst, danach folgen die ausführlichen Lösungswege.

Die Formel:

Bestimme die Schnittstellen der Kurven, finde heraus, welche oben liegt, und integriere die Differenz. Eine ausführlichere Erklärung mit Bildern findest du im Leitfaden zur Fläche zwischen Kurven.

Aufgaben

Berechne jeweils den Inhalt der eingeschlossenen Fläche.

Zwei Kurven, eine Fläche

1. y = x und y = x^2
2. y = 4 - x^2 und y = 0
3. y = 2x und y = x^2
4. y = x^2 - 4 und y = 2 - x
5. y = \sqrt{x} und y = x^2

Gegebene Grenzen

6. y = \cos x und y = \sin x von x = 0 bis x = \frac{\pi}{4}
7. y = e^x und y = 1 von x = 0 bis x = 1
8. y = x und y = \frac{1}{x} von x = 1 bis x = 2

Schwierigere Ansätze

9. Die Fläche, die von x = y^2 und x = y + 2 begrenzt wird
10. Die gesamte Fläche zwischen y = x^3 und y = x auf [-1, 1]

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Setze x = x^2: x = 0 oder x = 1. An der Stelle x = \frac{1}{2} liefert die Gerade 0.5 und die Parabel 0.25, also liegt die Gerade oben:

2. Die Parabel schneidet die x-Achse bei x = \pm 2:

3. Setze 2x = x^2: x = 0 oder x = 2. Bei x = 1 liegt die Gerade höher:

4. Setze x^2 - 4 = 2 - x: x^2 + x - 6 = 0, also x = -3 oder x = 2. Bei x = 0 liefert die Gerade 2 und die Parabel -4, also liegt die Gerade oben:

5. Die Kurven schneiden sich bei x = 0 und x = 1, dazwischen liegt \sqrt{x} oben:

6. Auf \left[0, \frac{\pi}{4}\right] gilt \cos x \geq \sin x:

7. Auf [0, 1] gilt e^x \geq 1:

8. Für x > 1 gilt x > \frac{1}{x}:

9. Beide Kurven sind als x in Abhängigkeit von y gegeben, also integrierst du nach y. Setze y^2 = y + 2: y = -1 oder y = 2. Bei y = 0 liefert die Gerade x = 2 und die Parabel x = 0, also liegt die Gerade rechts:

10. Die Kurven schneiden sich bei x = -1, 0, 1. Auf [0, 1] gilt x \geq x^3. Auf [-1, 0] gilt x^3 \geq x. Wegen der Symmetrie sind beide Teilflächen gleich groß:

Integrierst du x - x^3 in einem Stück über [-1, 1], erhältst du 0, und das ist falsch.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Untere minus obere Kurve. Ein negatives Ergebnis verrät den Fehler. Teste einen Punkt, um die obere Kurve zu finden.
• Nicht an einer Schnittstelle aufteilen. In Aufgabe 10 heben sich die beiden Teilflächen in einem einzigen Integral auf und es ergibt sich 0.
• Falsche Grenzen. Die Grenzen sind die Schnittstellen der Kurven, nicht die Schnittpunkte einer einzelnen Kurve mit der x-Achse.
• x und y vermischen. In Aufgabe 9 müssen Integrand und Grenzen beide in y sein.

Weiter üben

Für unbegrenzt viele Flächen mit sofortigem Feedback probier die Lektion zur Fläche zwischen Kurven und die gemischten Übungen zu Anwendungen. Als Nächstes lässt du diese Flächen um eine Achse rotieren, in den Aufgaben zu Rotationskörpern.