Aufgaben zur Stetigkeit mit Lösungen und Lösungsweg

Diese Aufgaben zur Stetigkeit behandeln die Definition mit ihren drei Bedingungen, abschnittsweise definierte Funktionen, das Bestimmen einer Konstanten, die eine Funktion stetig macht, die Einteilung von Unstetigkeiten, Stetigkeitsbereiche und den Zwischenwertsatz. Versuch jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die ausführlichen Lösungswege.

Eine Funktion f ist an der Stelle x = a stetig, wenn alle drei Bedingungen erfüllt sind:

Mehr zur Idee dahinter erfährst du im Leitfaden zur Stetigkeit.

Aufgaben

Ist die Funktion stetig?

1. Ist f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} an der Stelle x = 1 stetig? Falls nicht, wie könntest du das beheben?
2. Ist f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x < 2 \\ 3x - 1 & x \ge 2 \end{cases} an der Stelle x = 2 stetig?
3. Ist f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \le 1 \\ x^2 + 4 & x > 1 \end{cases} an der Stelle x = 1 stetig?
4. Ist f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x} & x \ne 0 \\ 1 & x = 0 \end{cases} an der Stelle x = 0 stetig?

Mach die Funktion stetig

5. Bestimme k so, dass f(x) = \begin{cases} kx + 3 & x < 2 \\ x^2 - k & x \ge 2 \end{cases} überall stetig ist.
6. Bestimme a und b so, dass f(x) = \begin{cases} 3x + a & x < 1 \\ x^2 + bx & 1 \le x \le 2 \\ 10 & x > 2 \end{cases} überall stetig ist.

Arten von Unstetigkeit und Stetigkeitsbereiche

7. Bestimme und klassifiziere die Unstetigkeitsstellen von f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 5x + 6}.
8. Wo ist f(x) = \dfrac{\ln(x - 4)}{x - 6} stetig?
9. Wo ist f(x) = \sqrt{9 - x^2} stetig?

Zwischenwertsatz

10. Zeige, dass x^3 + x - 1 = 0 eine Lösung zwischen 0 und 1 hat.
11. Zeige, dass \cos x = x eine Lösung in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) hat.
12. Für f(x) = \frac{1}{x} gilt f(-1) = -1 und f(1) = 1. Folgt aus dem Zwischenwertsatz, dass f in [-1, 1] eine Nullstelle hat?

Lösungen

Lösungswege Schritt für Schritt

1. Bei x = 1 ist der Nenner 0, also ist f(1) nicht definiert und f dort nicht stetig. Der Grenzwert existiert aber:

Das ist eine hebbare Unstetigkeit, ein Loch bei (1, 2). Setzt du f(1) = 2, ist das Loch geschlossen und f stetig.

2. Prüfe alle drei Bedingungen:

• Linksseitiger Grenzwert: 2^2 + 1 = 5.
• Rechtsseitiger Grenzwert: 3(2) - 1 = 5.
• Funktionswert: f(2) = 3(2) - 1 = 5.

Alle drei stimmen überein, also ist f an der Stelle x = 2 stetig.

3. Der linksseitige Grenzwert ist 2(1) + 1 = 3 und der rechtsseitige Grenzwert ist 1^2 + 4 = 5. Die einseitigen Grenzwerte sind verschieden, also existiert der Grenzwert nicht. Das ist eine Sprungstelle.

4. Der Funktionswert ist f(0) = 1, und der bekannte Grenzwert liefert \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1. Beide stimmen überein, also ist f an der Stelle 0 stetig.

5. Jedes Teilstück ist ein Polynom, also musst du nur x = 2 prüfen. Setze den linksseitigen Grenzwert gleich dem rechtsseitigen Grenzwert:

6. Es gibt zwei Nahtstellen, also erhältst du zwei Gleichungen.

Bei x = 2: Das mittlere Teilstück liefert 4 + 2b und das rechte Teilstück 10, also b = 3.

Bei x = 1: Das linke Teilstück liefert 3 + a und das mittlere Teilstück 1 + b = 4, also a = 1.

7. Faktorisiere den Nenner: x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3), also ist f bei x = 2 und x = 3 nicht definiert.

Bei x = 2 ist der Grenzwert \frac{1}{2 - 3} = -1, das ist also eine hebbare Unstetigkeit. Bei x = 3 wird auch der Nenner der gekürzten Form null, also gilt f\to\pm\infty: eine Unendlichkeitsstelle mit senkrechter Asymptote.

8. Der Logarithmus verlangt x - 4 > 0, also x > 4. Der Nenner verlangt x \ne 6. Zusammen ist f auf (4, 6)\cup(6, \infty) stetig.

9. Die Wurzel verlangt 9 - x^2 \ge 0, also -3 \le x \le 3. Die Funktion ist auf dem abgeschlossenen Intervall [-3, 3] stetig, an den Randpunkten im Sinne der einseitigen Stetigkeit.

10. Sei f(x) = x^3 + x - 1. Als Polynom ist die Funktion auf [0, 1] stetig. Wegen f(0) = -1 und f(1) = 1 liegt der Wert 0 dazwischen. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es ein c in (0, 1) mit f(c) = 0.

11. Schreibe die Gleichung als g(x) = \cos x - x = 0. Die Funktion g ist überall stetig. Prüfe die Randpunkte:

Das Vorzeichen wechselt, also gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein c in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) mit \cos c = c.

12. Nein. Der Zwischenwertsatz setzt voraus, dass f auf dem ganzen abgeschlossenen Intervall stetig ist, und \frac{1}{x} ist bei 0 nicht definiert. Der Satz sagt hier nichts aus, und tatsächlich ist \frac{1}{x} nie 0.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Nur den Grenzwert prüfen. In Aufgabe 1 existiert der Grenzwert, trotzdem ist die Funktion unstetig, weil f(1) fehlt.
• An der Nahtstelle das falsche Teilstück verwenden. In Aufgabe 2 kommt f(2) aus dem Teilstück mit x \ge 2. Lies die Ungleichheitszeichen genau.
• Nur eine Nahtstelle prüfen. Aufgabe 6 hat zwei Nahtstellen, und jede liefert eine eigene Gleichung.
• Den Zwischenwertsatz ohne Stetigkeit anwenden. Aufgabe 12 zeigt, dass ein Vorzeichenwechsel allein nichts beweist.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenzte Übung mit neuen Funktionen und sofortigem Feedback probier die Lektion zur Stetigkeit und die Lektion zum Zwischenwertsatz. Stetigkeit ist auch die erste Voraussetzung des Mittelwertsatzes, den du als Nächstes üben kannst.