AP Calculus BC unidad 9: paramétricas, polares y vectores

La unidad 9 de AP Calculus, ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y funciones vectoriales (Parametric Equations, Polar Coordinates, and Vector-Valued Functions), es la primera de las dos unidades exclusivas de BC. Saca las derivadas y las integrales del eje x y las lleva al plano: una partícula que se mueve por una trayectoria, una curva dada por su ángulo y su distancia al origen, una posición escrita como vector. El cálculo es el mismo. Lo que cambia es cómo se plantea.

Qué cubre la unidad 9

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

Las ideas clave

Una curva paramétrica es una trayectoria recorrida en el tiempo. Tanto x como y dependen de un parámetro t. La pendiente es un cociente de tasas:

Los vectores agrupan el movimiento. Si la posición es \vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle, la velocidad es \vec{v}(t) = \langle x'(t), y'(t)\rangle y la aceleración es \vec{a}(t) = \langle x''(t), y''(t)\rangle. La rapidez es el módulo del vector velocidad, y la distancia total es la integral de la rapidez.

Las curvas polares usan ángulo y distancia. Un punto es (r, \theta) con x = r\cos\theta e y = r\sin\theta. Para las pendientes, deriva x e y respecto de \theta y divide. Para el área, suma sectores finos:

Preguntas de ejemplo

1. Pendiente y concavidad paramétricas. Para x = t^2 e y = t^3 - 3t:

En t = 2 la pendiente es \frac{9}{4}. La curva tiene tangentes horizontales en t = \pm 1. Para la concavidad, \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{3}{2}\left(1 + \frac{1}{t^2}\right), así que en t = 2:

2. Longitud de arco paramétrica. Para x = 2\cos t e y = 2\sin t en [0, \pi], (x')^2 + (y')^2 = 4\sin^2 t + 4\cos^2 t = 4, así que la longitud es \int_0^\pi 2\,dt = 2\pi, la mitad de la longitud de una circunferencia de radio 2.

3. Movimiento en el plano. Una partícula tiene posición \vec{r}(t) = \langle t^2, 3t\rangle. Entonces \vec{v}(t) = \langle 2t, 3\rangle y \vec{a}(t) = \langle 2, 0\rangle. En t = 2 la rapidez es \sqrt{4^2 + 3^2} = 5.

4. Área en polares. El área encerrada por la cardioide r = 1 + \cos\theta es

usando \int_0^{2\pi}\cos\theta\,d\theta = 0 y \int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi.

Cómo estudiar la unidad 9

• Divide entre \frac{dx}{dt} dos veces. Aparece en la primera derivada y otra vez en la segunda. Olvidarlo en \frac{d^2y}{dx^2} es el error más común de la unidad 9.
• Trata los vectores componente a componente. Deriva, integra y suma las posiciones iniciales de x y de y por separado.
• Halla primero las intersecciones en polares. Para el área entre dos curvas polares, iguala los valores de r para obtener los límites de \theta, y luego usa \frac{1}{2}\int \left(r_{\text{ext}}^2 - r_{\text{int}}^2\right)d\theta.
• Usa la calculadora donde esté permitida. Muchas integrales de áreas polares y de longitud de arco no tienen una antiderivada sencilla, así que aparecen en la sección con calculadora.
• Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de paramétricas y polares, todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus BC, o compara los dos cursos en la guía de AP Calculus AB.

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