AP Calculus BC unidad 10: repaso de sucesiones y series

La unidad 10 de AP Calculus, sucesiones y series infinitas (Infinite Sequences and Series), es la segunda unidad exclusiva de BC y la más grande. Plantea una pregunta sorprendente: ¿se pueden sumar infinitos números y obtener un resultado finito? A veces sí. Después usa esa idea para escribir funciones como e^x y \sin x como polinomios infinitos, que es como las calculadoras las calculan de verdad.

Qué cubre la unidad 10

College Board divide la unidad en estos temas. Cada fila enlaza a una lección donde puedes practicarlo con números nuevos cada vez.

Las ideas clave

Una serie converge cuando sus sumas parciales se estabilizan. Si S_N = a_1 + a_2 + \dots + a_N se acerca a un límite finito, la serie converge a ese límite. Que los términos tiendan a 0 es necesario pero no suficiente: la serie armónica \sum \frac{1}{n} tiene términos que tienden a 0 y, sin embargo, diverge.

Cada criterio encaja con una forma. El criterio del término n-ésimo solo demuestra divergencia. La fórmula de la serie geométrica da una suma exacta. El criterio del cociente se ocupa de factoriales y exponenciales. El criterio de series alternadas necesita términos que decrezcan hasta 0.

Los polinomios de Taylor imitan una función cerca de un punto. El polinomio de Taylor de grado n coincide con f y con sus n primeras derivadas en x = a. Más términos dan un mejor ajuste en un intervalo más amplio.

Las series de potencias convergen en un intervalo. Usa el criterio del cociente para hallar el radio R y luego estudia cada extremo por separado, ya que ahí el criterio del cociente no dice nada. Lee más en las guías de criterios de convergencia, series de potencias y series de Taylor, y en la página del teorema de Taylor.

Preguntas de ejemplo

1. Serie geométrica. \sum_{n=0}^{\infty} 3\left(\frac{1}{2}\right)^n tiene a = 3 y r = \frac{1}{2}, así que converge a \frac{3}{1 - 1/2} = 6.

2. Criterio del cociente. Para \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}:

así que la serie converge.

3. Error en una serie alternada. La serie armónica alternada 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots converge a \ln 2. Los cuatro primeros términos dan \frac{7}{12} \approx 0.583, y el error es como mucho el término siguiente, \frac{1}{5}. El error real es de aproximadamente 0.110.

4. Intervalo de convergencia. Para \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, el criterio del cociente da |x| < 1. En x = 1 es la serie armónica, que diverge. En x = -1 es la serie armónica alternada, que converge. El intervalo es [-1, 1).

5. Cota de error de Lagrange. El polinomio de Maclaurin de grado 2 de e^x da e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + 0.005 = 1.105. Todas las derivadas de e^x son e^x, que es menor que 3 en [0, 0.1], así que

El valor real es e^{0.1} \approx 1.105171, así que el error es de unos 0.00017.

Cómo estudiar la unidad 10

• Haz un diagrama de flujo de criterios. Decide en qué orden compruebas el término n-ésimo, la serie geométrica, las series p, las alternadas, el cociente y la comparación, y practica a elegir rápido.
• Estudia siempre los extremos. La pregunta de respuesta libre sobre el intervalo de convergencia da un punto por cada extremo, y a menudo se comportan de forma distinta.
• Memoriza cuatro series de Maclaurin. e^x, \sin x, \cos x y \frac{1}{1 - x} cubren la mayor parte del examen cuando sabes sustituir en ellas.
• Escribe la cota de error completa. Muestra M, el factorial y la potencia, no solo un número.
• Resuelve colecciones de ejercicios. Prueba los ejercicios de criterios de convergencia, los ejercicios de series de potencias y los ejercicios de series de Taylor, todos con soluciones completas.

Para ver el mapa completo del curso, consulta la guía de AP Calculus BC, o compara los dos cursos en la guía de AP Calculus AB.

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