Derivada de 1/x²: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de 1/x² es -2/x³. Demostración con la regla de la potencia y del cociente, regla de la cadena para 1/u², gráfica y ejemplos como 1/(3x - 2)².
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -\dfrac{2}{x^3} para x \ne 0
- Como potencia
- \dfrac{d}{dx}\,x^{-2} = -2x^{-3}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u^2} = -\dfrac{2u'}{u^3}
- Segunda derivada
- \dfrac{6}{x^4}
- Versión para integrales
- \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C
En esta página
La derivada de \dfrac{1}{x^2} es -\dfrac{2}{x^3}. Sube la potencia al numerador como x^{-2} y la regla de la potencia termina el trabajo en un solo paso.
Gráfica de 1/x² y de su derivada
La gráfica de \frac{1}{x^2} es simétrica respecto al eje y, así que sus pendientes en x y en -x son opuestas. Por eso la derivada es una función impar.
Demostración con la regla de la potencia
Es la regla de la potencia con n = -2. Lo único que requiere cuidado es la resta: -2 - 1 = -3.
Demostración con la regla del cociente
Con numerador 1 y denominador x^2, la regla del cociente da
El mismo resultado, con más trabajo. Reescribir como potencia es el hábito más rápido.
Demostración con la definición de límite
Cuando h \to 0 esto se convierte en \frac{-2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}.
La versión con la regla de la cadena: derivada de 1/u²
Ejemplo 1. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(3x - 2)^2} = -\frac{2 \cdot 3}{(3x - 2)^3} = -\frac{6}{(3x - 2)^3}.
Ejemplo 2. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{(x^2 + 4)^2} = -\frac{2 \cdot 2x}{(x^2 + 4)^3} = -\frac{4x}{(x^2 + 4)^3}.
Ejemplo 3. \frac{d}{dx}\,\frac{1}{\cos^2 x} = -\frac{2(-\sin x)}{\cos^3 x} = \frac{2\sin x}{\cos^3 x}. Como \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x, coincide con la derivada de sec²x, 2\sec^2 x\tan x.
Más ejemplos resueltos
Ejemplo 4: una forma de la física. La gravedad y la intensidad de la luz siguen F = \frac{k}{r^2}. La tasa de cambio respecto a la distancia es \frac{dF}{dr} = -\frac{2k}{r^3}. Al duplicar la distancia, la fuerza se reduce a la cuarta parte y la tasa de cambio a la octava parte.
Ejemplo 5: segunda derivada. \frac{d}{dx}\left(-2x^{-3}\right) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}. Es positiva en todas partes, así que las dos ramas son cóncavas hacia arriba.
Cómo recordarla
Piensa en \frac{1}{x^2} como una potencia que resulta estar en el denominador. Súbela como x^{-2}, aplica la regla de la potencia como a cualquier otra potencia y, si quieres una fracción, vuelve a bajar el resultado. Los mismos tres pasos sirven para \frac{1}{x^3}, \frac{1}{x^{10}} o \frac{1}{\sqrt{x}}. Una comprobación rápida del signo también ayuda: para x positivo la curva baja, así que ahí la derivada tiene que ser negativa, y -\frac{2}{x^3} lo es.
Errores comunes
- Escribir -2x^{-1}. Al bajar uno desde -2 se llega a -3.
- Darle la vuelta a la derivada del denominador. \frac{1}{2x} no es la derivada de \frac{1}{x^2}.
- Perder el signo menos. El exponente -2 baja como coeficiente negativo.
En sentido inverso, \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C está en la página de la integral de 1/x². Compárala con la derivada de 1/x.
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La regla de la potencia
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