Derivada de 1/x: fórmula, demostración y ejemplos
La derivada de 1/x es -1/x². Demostración por la definición de límite, regla de la potencia con x⁻¹, regla de la cadena para 1/u y ejemplos como 1/(2x + 5).
Potencias, raíces y polinomios Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- -\dfrac{1}{x^2} para x \ne 0
- Como potencia
- \dfrac{d}{dx}\,x^{-1} = -x^{-2}
- Con la regla de la cadena
- \dfrac{d}{dx}\,\dfrac{1}{u} = -\dfrac{u'}{u^2}
- Signo
- Siempre negativa, así que \frac{1}{x} decrece a cada lado de 0
- Versión para integrales
- \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C
En esta página
La derivada de \dfrac{1}{x} es -\dfrac{1}{x^2}. El signo menos te dice que la curva siempre va cuesta abajo, a ambos lados de la asíntota vertical.
Gráfica de 1/x y de su derivada
Cerca de x = 0 las ramas son casi verticales y -\frac{1}{x^2} es un número negativo enorme. Lejos de 0 la curva se aplana y -\frac{1}{x^2} se acerca a 0.
Demostración con la definición de límite
Junta las fracciones del numerador con el denominador común x(x + h):
Divide entre h y haz que h \to 0:
Demostración con la regla de la potencia
Como \frac{1}{x} = x^{-1}, la regla de la potencia da -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}. La regla del cociente coincide: \frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}.
La versión con la regla de la cadena: derivada de 1/u
| Función | Interior u | Derivada |
|---|---|---|
| \frac{1}{2x + 5} | 2x + 5 | -\frac{2}{(2x + 5)^2} |
| \frac{1}{x^2 + 1} | x^2 + 1 | -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} |
| \frac{1}{\sin x} | \sin x | -\frac{\cos x}{\sin^2 x} |
| \frac{1}{e^x + 1} | e^x + 1 | -\frac{e^x}{(e^x + 1)^2} |
La tercera fila es lo mismo que -\csc x\cot x, la derivada de csc x.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una suma. \frac{d}{dx}\left(x + \frac{1}{x}\right) = 1 - \frac{1}{x^2}. Al igualarla a 0 se obtiene x = \pm 1, donde x + \frac{1}{x} tiene sus puntos de giro.
Ejemplo 2: una recta tangente. En x = 2, y = \frac{1}{2} y la pendiente es -\frac{1}{4}:
Ejemplo 3: segunda derivada. \frac{d}{dx}\left(-x^{-2}\right) = 2x^{-3} = \frac{2}{x^3}. Es positiva para x > 0 y negativa para x < 0, así que la rama derecha es cóncava hacia arriba y la izquierda cóncava hacia abajo.
Errores comunes
- Responder \ln x o \frac{1}{x^2}. La derivada es -\frac{1}{x^2}. La función \ln x es la antiderivada, no la derivada.
- Perder el signo menos. x^{-1} baja un -1.
- Escribir x^0. Al restar uno a -1 se obtiene -2, no 0.
- Olvidar u'. \frac{d}{dx}\frac{1}{3x} es -\frac{3}{(3x)^2} = -\frac{1}{3x^2}, no -\frac{1}{9x^2}.
La parte de integrales está en la página de la integral de 1/x, y la curva en sí está en la página de la función recíproca.
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