Derivada de e^(2x): fórmula, pasos y ejemplos
La derivada de e^(2x) es 2e^(2x). Pasos con la regla de la cadena, una segunda demostración con (eˣ)², derivadas sucesivas, gráfica y ejemplos resueltos.
Derivadas exponenciales y logarítmicas Actualizado 2 min de lectura
De un vistazo
- Derivada
- 2e^{2x}
- Segunda derivada
- 4e^{2x}
- Derivada n-ésima
- 2^n e^{2x}
- Forma general
- \dfrac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}
- Versión para integrales
- \int e^{2x}\,dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C
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La derivada de e^{2x} es 2e^{2x}. La exponencial se queda exactamente igual, y la derivada del exponente, 2, sale delante.
Paso a paso con la regla de la cadena
Escribe e^{2x} como una función exterior e^u con interior u = 2x. La regla de la cadena dice
- La derivada exterior: la derivada de eˣ es ella misma, así que e^u se queda como e^{2x}.
- La derivada interior: \frac{d}{dx}(2x) = 2.
- Multiplica: e^{2x}\cdot 2 = 2e^{2x}.
Los mismos pasos dan la regla general \frac{d}{dx}e^{kx} = ke^{kx}. Por ejemplo, \frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x} y \frac{d}{dx}e^{x/3} = \frac{1}{3}e^{x/3}.
Una segunda demostración sin la regla de la cadena
Como e^{2x} = (e^x)^2 = e^x\cdot e^x, también funciona la regla del producto:
Los dos métodos coinciden, lo cual es una buena comprobación.
Gráfica de e^(2x) y de su derivada
La recta tangente en x = 0 tiene pendiente 2 y pasa por (0, 1), así que es y = 2x + 1.
Derivadas sucesivas
Cada vez que derivas, sale otro factor 2:
| Derivada | Resultado |
|---|---|
| f'(x) | 2e^{2x} |
| f''(x) | 4e^{2x} |
| f'''(x) | 8e^{2x} |
| f^{(n)}(x) | 2^n e^{2x} |
Este patrón explica por qué y = e^{2x} resuelve la ecuación diferencial y'' = 4y. También explica la primera derivada por sí sola: y' = 2y dice que la función crece a una tasa igual al doble de su tamaño actual, que es la regla del crecimiento exponencial con constante de crecimiento 2.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: regla del producto. Para f(x) = xe^{2x},
Como e^{2x} > 0, el único punto crítico está donde 1 + 2x = 0, en x = -\frac{1}{2}.
Ejemplo 2: un exponente desplazado. Para g(x) = e^{2x + 1}, la derivada interior sigue siendo 2:
Ejemplo 3: un múltiplo constante. Para h(x) = 5e^{2x} - e^{-2x},
El segundo término cambia de signo porque \frac{d}{dx}(-2x) = -2.
Errores comunes
- Olvidar el 2. \frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} es el despiste más común. Multiplica siempre por la derivada del interior.
- Bajar el exponente como si fuera una potencia. 2x\,e^{2x - 1} es incorrecto; la regla de la potencia no se aplica.
- Escribir 2e^{x}. El exponente no cambia. Sigue siendo 2x.
- Confundir la derivada con la integral. La derivada multiplica por 2; la integral divide entre 2.
Para el sentido inverso, consulta la integral de e^(2x). Para practicar más, prueba los ejercicios de derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
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