Integral de x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de x es \dfrac{x^2}{2} + C. Sale directamente de la regla de la potencia inversa: suma uno al exponente y luego divide entre el nuevo exponente.

Gráfica de y = x y su antiderivada

La antiderivada \frac{x^2}{2} es una parábola. Su pendiente en cada punto es igual a la altura de la recta y = x: pendiente 0 en el origen, pendiente 2 en x = 2 y pendientes negativas para x negativo.

Deducción paso a paso

1. Escribe x como potencia: x = x^1.
2. Aplica la regla de la potencia inversa, \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, con n = 1.
3. Suma uno al exponente: x^{2}.
4. Divide entre el nuevo exponente: \frac{x^2}{2}.
5. Añade la constante: \frac{x^2}{2} + C.

También hay una demostración gráfica. La región bajo y = x entre 0 y b es un triángulo rectángulo de base b y altura b, así que su área es \frac{1}{2}b\cdot b = \frac{b^2}{2}. La función área es \frac{x^2}{2}, y esa es exactamente la antiderivada.

Comprobación derivando

El sentido directo está en la página de la derivada de x.

Integrales definidas

Por ejemplo, \int_1^3 x\,dx = \frac{9 - 1}{2} = 4. Esa región es un trapecio con lados paralelos 1 y 3 y anchura 2, y su área es \frac{1 + 3}{2}\cdot 2 = 4. El mismo resultado.

Cuando el intervalo cruza el 0, el área bajo el eje cuenta como negativa: \int_{-1}^{1} x\,dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0.

La versión lineal: integral de ax + b

Para una recta ax + b puedes integrar término a término:

Con una sustitución (cambio de variable), u = ax + b, obtienes una segunda forma:

Las dos son correctas. Al desarrollar la segunda se obtiene \frac{ax^2}{2} + bx + \frac{b^2}{2a}, que solo se diferencia de la primera en la constante \frac{b^2}{2a}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \int 6x\,dx = 6\cdot\frac{x^2}{2} + C = 3x^2 + C.

Ejemplo 2. \int (4x - 5)\,dx = 2x^2 - 5x + C. El -5 usa la integral de una constante.

Ejemplo 3. \int_0^4 \frac{x}{2}\,dx = \frac{1}{2}\cdot\frac{16}{2} = 4.

Ejemplo 4: valor medio. El valor medio de f(x) = x en [0, 6] es \frac{1}{6}\int_0^6 x\,dx = \frac{1}{6}\cdot 18 = 3, el punto medio, como cabe esperar de una recta.

Errores comunes

1. Escribir x^2 + C. Hay que dividir entre el nuevo exponente. La derivada de x^2 es 2x, no x.
2. Obtener 1. Esa es la derivada de x, no su integral.
3. Olvidar el + C en una integral indefinida.
4. Esperar que el área sea positiva. Una integral definida da el área con signo. Usa \int\lvert x\rvert\,dx si quieres el área total; consulta la integral de |x|.

Sigue con la integral de x², o practica con ejercicios de antiderivadas.