Ejercicios de criterios de convergencia de series con respuestas
12 ejercicios de convergencia de series con respuestas: término n-ésimo, series p, geométricas, comparación, integral, cociente, raíz y series alternadas.
Sucesiones y series Actualizado 4 min de lectura
De un vistazo
- Ejercicios
- 12, con respuestas y soluciones completas
- Nivel
- Cálculo 2 y AP Calculus BC, unidad 10
- Necesitas
- Límites al infinito y la fórmula de la serie geométrica
- Idea principal
- Relaciona la forma de los términos con el criterio que trata esa forma
- Practica con números nuevos
- Lección para elegir un criterio
En esta página
Estos ejercicios de criterios de convergencia de series te dan una mezcla de series y te piden decidir si cada una converge o diverge, y por qué. Elegir el criterio adecuado es la verdadera destreza, así que intenta nombrar el criterio antes de leer la solución. Las respuestas van primero y después las soluciones completas.
Una guía rápida de los criterios:
| Forma de los términos | Criterio que conviene probar |
|---|---|
| Los términos no tienden a 0 | Criterio del término n-ésimo: diverge |
| ar^n | Geométrica: converge si \lvert r\rvert < 1 |
| \frac{1}{n^p} | Serie p: converge si p > 1 |
| Expresiones racionales o con raíces | Comparación directa o en el límite |
| Factoriales o c^n | Criterio del cociente |
| (\dots)^n | Criterio de la raíz |
| (-1)^n b_n | Criterio de series alternadas |
Ejercicios
Decide si cada serie converge o diverge.
Series de referencia
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n + 1}
- \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n (halla también la suma)
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}
Criterios de comparación y de la integral
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n - 1}
- \displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}
Criterios del cociente y de la raíz
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n
Series alternadas
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}
- \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2}
Respuestas
| Ejercicio | Respuesta | Criterio |
|---|---|---|
| 1 | Converge | Serie p, p = 3 |
| 2 | Diverge | Término n-ésimo, términos \to 1 |
| 3 | Converge a 3 | Geométrica, r = \frac{2}{3} |
| 4 | Diverge | Serie p, p = \frac{1}{2} |
| 5 | Converge | Comparación con \frac{1}{n^2} |
| 6 | Diverge | Comparación en el límite con \frac{1}{n} |
| 7 | Diverge | Criterio de la integral |
| 8 | Converge | Criterio del cociente, L = \frac{1}{2} |
| 9 | Diverge | Criterio del cociente, L = \infty |
| 10 | Converge | Criterio de la raíz, L = \frac{1}{2} |
| 11 | Converge condicionalmente | Criterio de series alternadas |
| 12 | Converge absolutamente | \sum\frac{1}{n^2} converge |
Soluciones paso a paso
1. Es una serie p con p = 3 > 1, así que converge.
2. Los términos tienden a 1, no a 0:
Por el criterio del término n-ésimo, la serie diverge.
3. Geométrica con primer término 1 y razón \frac{2}{3}. Como |r| < 1:
4. \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}} es una serie p con p = \frac{1}{2} \le 1, así que diverge.
5. Para todo n, n^2 + 1 > n^2, así que \frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}. La serie mayor \sum\frac{1}{n^2} converge, así que la menor también.
6. Compara con \frac{1}{n}:
El límite es positivo y finito, y \sum\frac{1}{n} diverge, así que esta serie también diverge.
7. La función \frac{1}{x\ln x} es positiva y decreciente para x \ge 2. Con u = \ln x:
La integral diverge, así que la serie diverge.
8. Criterio del cociente:
Converge. De hecho, su suma es 2.
9. Criterio del cociente:
Diverge. Los factoriales crecen más rápido que cualquier exponencial.
10. Criterio de la raíz:
Converge.
11. Los términos \frac{1}{n} son positivos, decrecientes y tienden a 0, así que el criterio de series alternadas dice que converge. Pero \sum\frac{1}{n} diverge, así que la convergencia es condicional. La suma es \ln 2.
12. Los valores absolutos forman \sum\frac{1}{n^2}, una serie p convergente. Así que la serie converge absolutamente.
Errores comunes en estos ejercicios
- Usar el criterio del término n-ésimo para demostrar convergencia. Que los términos tiendan a 0 no demuestra la convergencia. El ejercicio 7 tiene términos que tienden a 0 y aun así diverge.
- Comparar en la dirección equivocada. Ser menor que una serie divergente, o mayor que una convergente, no demuestra nada.
- Usar el criterio del cociente con series p. Para \frac{1}{n^p} el límite del cociente siempre es 1, lo que no da respuesta.
- Olvidar comprobar la convergencia absoluta. En las series alternadas, la respuesta completa indica si la convergencia es absoluta o condicional.
Sigue practicando
Para practicar con series sin límite y corrección al instante, prueba la lección para elegir un criterio, la lección de los criterios del cociente y de la raíz y el bloque de práctica de series. Para entender el razonamiento detrás de cada criterio, lee la guía de criterios de convergencia. Después usa estos criterios para hallar intervalos en los ejercicios de series de potencias.
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