Mittelwertsatz der Differentialrechnung: Aufgaben mit Lösungen

Diese Aufgaben zum Mittelwertsatz beginnen damit, den Wert von c zu bestimmen, und behandeln dann den Satz von Rolle, Fälle, in denen der Satz nicht gilt, und die beiden klassischen Anwendungen: eine Funktion abschätzen und zeigen, dass eine Gleichung genau eine Lösung hat. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst. Die Ergebnisse stehen direkt nach der Liste, danach folgen die vollständigen Lösungen.

Der Satz: Ist f stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b), dann gilt für ein c in (a, b)

Den Beweis findest du auf den Seiten zum Mittelwertsatz und zum Satz von Rolle, weitere Beispiele im Leitfaden zum Mittelwertsatz.

Aufgaben

c bestimmen

1. f(x) = x^2 auf [1, 3]
2. f(x) = x^3 auf [0, 3]
3. f(x) = \sqrt{x} auf [0, 4]
4. f(x) = \dfrac{1}{x} auf [1, 4]
5. f(x) = \ln x auf [1, e]
6. f(x) = x^3 - 3x auf [-2, 2]

Satz von Rolle

7. Überprüfe den Satz von Rolle für f(x) = x^2 - 4x + 1 auf [0, 4] und bestimme c.

Gilt der Satz?

8. Ist der Mittelwertsatz auf f(x) = \dfrac{1}{x} auf [-1, 1] anwendbar?
9. Ist der Mittelwertsatz auf f(x) = |x| auf [-1, 2] anwendbar? Gibt es trotzdem ein passendes c?

Den Satz anwenden

10. Ein Auto fährt 150 Meilen in 2 Stunden. Zeige, dass seine Geschwindigkeit in einem Moment genau 75 Meilen pro Stunde betrug.
11. Angenommen, f(1) = 3 und f'(x) \le 5 für alle x. Was ist der größtmögliche Wert von f(4)?
12. Zeige, dass x^3 + 2x - 1 = 0 genau eine reelle Lösung hat.

Ergebnisse

Lösungen Schritt für Schritt

1. f ist ein Polynom, die Voraussetzungen sind also erfüllt. Die mittlere Steigung ist \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4, und f'(c) = 2c:

2. Die mittlere Steigung ist \frac{27 - 0}{3} = 9, und f'(c) = 3c^2:

Nur c = \sqrt{3} liegt in (0, 3).

3. \sqrt{x} ist stetig auf [0, 4] und differenzierbar auf (0, 4). Das genügt, auch wenn die Ableitung bei x = 0 nicht existiert. Die mittlere Steigung ist \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}:

4. \frac{1}{x} ist auf [1, 4] unproblematisch, weil 0 nicht im Intervall liegt. Die mittlere Steigung ist \frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4}:

5. Die mittlere Steigung ist \frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}, und f'(c) = \frac{1}{c}:

Das liegt wie erwartet zwischen 1 und e \approx 2.718.

6. f(2) = 8 - 6 = 2 und f(-2) = -8 + 6 = -2, die mittlere Steigung ist also \frac{2 - (-2)}{4} = 1:

Beide Werte liegen in (-2, 2), also passen beide. Der Mittelwertsatz garantiert mindestens ein c, nicht genau eines.

7. f ist ein Polynom, und f(0) = 1 und f(4) = 16 - 16 + 1 = 1 sind gleich, also ist der Satz von Rolle anwendbar. Löse f'(c) = 0:

8. Nein. \frac{1}{x} ist bei x = 0 nicht definiert, und diese Stelle liegt in [-1, 1], also ist f auf dem Intervall nicht stetig. Tatsächlich ist die mittlere Steigung \frac{1 - (-1)}{2} = 1, aber f'(x) = -\frac{1}{x^2} ist immer negativ, also passt kein c.

9. |x| ist stetig auf [-1, 2], aber bei x = 0 nicht differenzierbar, also ist der Mittelwertsatz nicht anwendbar. Die mittlere Steigung ist \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}, aber f'(x) ist immer nur -1 oder 1. Kein c liefert \frac{1}{3}, und das zeigt, warum die Voraussetzung der Differenzierbarkeit wichtig ist.

10. Sei s(t) die nach t Stunden zurückgelegte Strecke. Die Position ist stetig und differenzierbar, und s'(t) ist die Geschwindigkeit. Nach dem Mittelwertsatz gibt es einen Zeitpunkt c in (0, 2) mit

11. Wende den Mittelwertsatz auf [1, 4] an. Für ein c in (1, 4) gilt:

Also ist f(4) \le 3 + 15 = 18. Der Wert 18 wird erreicht, wenn überall f'(x) = 5 gilt, zum Beispiel für f(x) = 5x - 2.

12. Mindestens eine Nullstelle. Sei f(x) = x^3 + 2x - 1. Die Funktion ist stetig mit f(0) = -1 < 0 und f(1) = 2 > 0. Nach dem Zwischenwertsatz gibt es eine Nullstelle in (0, 1).

Höchstens eine Nullstelle. Angenommen, es gäbe zwei Nullstellen a < b. Dann wäre f(a) = f(b) = 0, und der Satz von Rolle lieferte ein c mit f'(c) = 0. Aber f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2 ist nie 0. Es kann also keine zwei Nullstellen geben, und es gibt genau eine.

Typische Fehler bei diesen Aufgaben

• Die Voraussetzungen überspringen. Die Aufgaben 8 und 9 zeigen, dass die Aussage ohne Stetigkeit oder Differenzierbarkeit falsch sein kann.
• Ein c außerhalb des Intervalls behalten. In Aufgabe 2 löst c = -\sqrt{3} die Gleichung, liegt aber nicht in (0, 3).
• Nach einem c aufhören. In Aufgabe 6 gibt es zwei gültige Werte. Gib jede Lösung im Intervall an.
• Mittlere und momentane Änderungsrate verwechseln. Die linke Seite des Mittelwertsatzes ist eine Ableitung an einer Stelle, die rechte Seite die Steigung der Sekante über das ganze Intervall.

Weiter üben

Diese 12 Aufgaben haben feste Zahlen. Für unbegrenztes Üben mit immer neuen Funktionen und sofortigem Feedback probiere die Lektion zu linearer Approximation und Mittelwertsatz. Die Voraussetzung der Stetigkeit wiederholst du mit den Aufgaben zur Stetigkeit, und eine verwandte Idee für Integrale ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung.