Teorema do Valor Médio: exercícios resolvidos com respostas

Estes exercícios do Teorema do Valor Médio começam com o cálculo do valor de c, passam pelo Teorema de Rolle e por casos em que o teorema não se aplica e terminam com os dois usos clássicos: limitar uma função e mostrar que uma equação tem exatamente uma raiz. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

O teorema: se f é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b), então para algum c em (a, b),

Veja as páginas do Teorema do Valor Médio e do Teorema de Rolle para a demonstração, ou o guia do TVM para mais exemplos.

Exercícios

Encontre c

1. f(x) = x^2 em [1, 3]
2. f(x) = x^3 em [0, 3]
3. f(x) = \sqrt{x} em [0, 4]
4. f(x) = \dfrac{1}{x} em [1, 4]
5. f(x) = \ln x em [1, e]
6. f(x) = x^3 - 3x em [-2, 2]

Teorema de Rolle

7. Verifique o Teorema de Rolle para f(x) = x^2 - 4x + 1 em [0, 4] e encontre c.

O teorema se aplica?

8. O TVM se aplica a f(x) = \dfrac{1}{x} em [-1, 1]?
9. O TVM se aplica a f(x) = |x| em [-1, 2]? Existe algum c que funcione mesmo assim?

Usando o teorema

10. Um carro percorre 150 milhas em 2 horas. Mostre que em algum momento sua velocidade foi exatamente 75 mph.
11. Suponha que f(1) = 3 e f'(x) \le 5 para todo x. Qual é o maior valor possível de f(4)?
12. Mostre que x^3 + 2x - 1 = 0 tem exatamente uma solução real.

Respostas

Resoluções passo a passo

1. f é um polinômio, então as hipóteses valem. A inclinação média é \frac{9 - 1}{3 - 1} = 4, e f'(c) = 2c:

2. A inclinação média é \frac{27 - 0}{3} = 9, e f'(c) = 3c^2:

Só c = \sqrt{3} está em (0, 3).

3. \sqrt{x} é contínua em [0, 4] e diferenciável em (0, 4). Isso basta, mesmo que a derivada não exista em x = 0. A inclinação média é \frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}:

4. \frac{1}{x} não tem problema em [1, 4], porque 0 não está no intervalo. A inclinação média é \frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4}:

5. A inclinação média é \frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}, e f'(c) = \frac{1}{c}:

Esse valor está entre 1 e e \approx 2.718, como deveria.

6. f(2) = 8 - 6 = 2 e f(-2) = -8 + 6 = -2, então a inclinação média é \frac{2 - (-2)}{4} = 1:

Os dois valores estão em (-2, 2), então os dois servem. O TVM garante pelo menos um c, não exatamente um.

7. f é um polinômio, e f(0) = 1 e f(4) = 16 - 16 + 1 = 1 são iguais, então o Teorema de Rolle se aplica. Resolva f'(c) = 0:

8. Não. \frac{1}{x} não está definida em x = 0, que fica dentro de [-1, 1], então f não é contínua no intervalo. Na verdade, a inclinação média é \frac{1 - (-1)}{2} = 1, mas f'(x) = -\frac{1}{x^2} é sempre negativa, então nenhum c funciona.

9. |x| é contínua em [-1, 2], mas não é diferenciável em x = 0, então o TVM não se aplica. A inclinação média é \frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}, mas f'(x) só vale -1 ou 1. Nenhum c dá \frac{1}{3}, o que mostra por que a hipótese de diferenciabilidade importa.

10. Seja s(t) a distância percorrida após t horas. A posição é contínua e diferenciável, e s'(t) é a velocidade. Pelo TVM, existe um instante c em (0, 2) com

11. Aplique o TVM em [1, 4]. Para algum c em (1, 4):

Então f(4) \le 3 + 15 = 18. O valor 18 acontece quando f'(x) = 5 em todo ponto, por exemplo f(x) = 5x - 2.

12. Pelo menos uma raiz. Seja f(x) = x^3 + 2x - 1. Ela é contínua, com f(0) = -1 < 0 e f(1) = 2 > 0. Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe uma raiz em (0, 1).

No máximo uma raiz. Suponha que houvesse duas raízes a < b. Então f(a) = f(b) = 0, e o Teorema de Rolle daria um c com f'(c) = 0. Mas f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2 nunca é 0. Logo não pode haver duas raízes, e existe exatamente uma.

Erros comuns nestes exercícios

• Pular as hipóteses. Os exercícios 8 e 9 mostram que, sem continuidade ou diferenciabilidade, a conclusão pode falhar.
• Manter um c fora do intervalo. No exercício 2, c = -\sqrt{3} resolve a equação, mas não está em (0, 3).
• Parar no primeiro c. No exercício 6 há dois valores válidos. Liste todas as soluções do intervalo.
• Confundir taxa média com taxa instantânea. O lado esquerdo do TVM é uma derivada em um único ponto. O lado direito é a inclinação da reta secante no intervalo inteiro.

Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novas funções e correção na hora, faça a lição de aproximação linear e TVM. Para revisar a hipótese de continuidade, use os exercícios de continuidade, e para uma ideia parecida com integrais, veja o Teorema do Valor Médio para integrais.