Integral de 1/(x ln x): fórmula, pasos y ejemplos

La integral de \dfrac{1}{x\ln x} es \ln\lvert\ln x\rvert + C. Es un ejemplo de manual de un cambio de variable que está a la vista: el \frac{1}{x} es la derivada del \ln x que tiene al lado.

El integrando está definido para x > 0 con x \ne 1, ya que \ln 1 = 0 anularía el denominador.

Gráfica de 1/(x ln x)

Cómo integrar 1/(x ln x) paso a paso

1. Detecta la pareja. Escribe el integrando como \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}. El segundo factor es la derivada de \ln x.
2. Haz el cambio. Sea u = \ln x, de modo que du = \frac{1}{x}\,dx: \int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du
3. Integra. \int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C, por la integral de 1/x.
4. Deshaz el cambio. \ln\lvert\ln x\rvert + C.

El valor absoluto importa en 0 < x < 1, donde \ln x es negativo. Para x > 1 puedes quitarlo y escribir \ln(\ln x).

Aquí actúa la regla de sustitución. Siempre que veas \frac{1}{x} multiplicado por alguna función de \ln x, prueba con u = \ln x.

Comprobación derivando

Usa la regla de la cadena dos veces:

Integrales definidas e impropias

De e a e²: \ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2.

De e a e^e: \ln(e) - \ln(1) = 1. Cada tramo de la forma [e^{a}, e^{ea}] añade la misma área, 1.

De 2 a ∞: esta integral impropia diverge.

El crecimiento es desesperadamente lento. Incluso en b = 10^{100}, \ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44. Una calculadora nunca te convencería de que diverge, pero la antiderivada lo demuestra.

El criterio de la integral. Como esta integral diverge, el criterio de la integral dice que la serie \sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n} también diverge, aunque sus términos decrezcan más rápido que \frac{1}{n}.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un logaritmo al cuadrado. \displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}. Con u = \ln x, la antiderivada es -\frac{1}{\ln x}:

Esta sí converge. Basta una potencia más de \ln x.

Ejemplo 2: logaritmo arriba. \displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.

Ejemplo 3: una potencia del logaritmo. \displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C, para x > 1.

Ejemplo 4: una constante dentro. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}. Aquí también \frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}, así que el resultado es \ln\lvert\ln(5x)\rvert + C.

Ejemplo 5: una capa más. \displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C, usando u = \ln(\ln x).

Errores comunes

1. Separar en \frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x} e integrar cada factor. Un producto no se integra factor a factor. \ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert es incorrecto.
2. Usar integración por partes. Se puede, pero no lleva a nada útil. El cambio de variable lo resuelve en una línea.
3. Escribir \ln\lvert x\ln x\rvert. Esa es la antiderivada de \frac{\ln x + 1}{x\ln x}, no de \frac{1}{x\ln x}.
4. Integrar atravesando x = 1. El integrando se dispara ahí, así que \int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x} no es una integral normal.

La integral de ln x y la integral de x ln x tratan las otras integrales con logaritmos más comunes. Para más sobre este tipo de cambio de variable, consulta la guía del cambio de variable y los ejercicios de cambio de variable.