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Productos e integración por partes

Integral de x ln x: fórmula, pasos y ejemplos

La integral de x ln x es (x²/2) ln x − x²/4 + C. Los pasos por partes con u = ln x, la comprobación, una gráfica y la fórmula de xⁿ ln x.

Productos e integración por partes Actualizado 3 min de lectura

De un vistazo

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
Antiderivada
\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C
Método
Integración por partes con u = \ln x, dv = x\,dx
De 1 a e
\frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097
De 0 a 1
-\frac{1}{4}
Potencia general
\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, n \ne -1
En esta página
  1. Gráfica de x ln x con el área de 1 a e
  2. Cómo integrar x ln x paso a paso
  3. Comprobación derivando
  4. Integrales definidas
  5. La potencia general xⁿ ln x
  6. Ejemplos resueltos
  7. Errores comunes

La integral de x\ln x es \dfrac{x^2}{2}\ln x - \dfrac{x^2}{4} + C. Es el producto de una potencia y un logaritmo, así que la herramienta es la integración por partes, con el logaritmo como u.

\int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

Gráfica de x ln x con el área de 1 a e

y = x ln x con el área de 1 a e sombreada
El área sombreada es \frac{e^2 + 1}{4} \approx 2.097. Entre 0 y 1 la curva baja por debajo del eje, y esa pequeña región tiene área con signo -\frac{1}{4}.

Cómo integrar x ln x paso a paso

Usa la integración por partes: \int u\,dv = uv - \int v\,du.

  1. Elige las partes. u = \ln x y dv = x\,dx. Los logaritmos van primero en LIATE.
  2. Halla du y v. du = \frac{1}{x}\,dx y v = \frac{x^2}{2}.
  3. Aplica la fórmula. \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \int\frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx
  4. Termina. \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{4}, así que \int x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C

El momento clave es el paso 3: el \frac{1}{x} de du cancela una potencia de x de v y deja una potencia sencilla. Eso pasa siempre que el logaritmo hace de u.

Comprobación derivando

\frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right) = x\ln x + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln x + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln x

La página de la derivada de x ln x tiene el cálculo en sentido directo.

Integrales definidas

De 1 a e:

\left[\frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4}\right]_1^e = \left(\frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4}\right) - \left(0 - \frac{1}{4}\right) = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2+1}{4}

Eso es aproximadamente 2.097.

De 0 a 1: es impropia en 0 porque ahí \ln x no está definido, pero x^2\ln x \to 0 cuando x \to 0^+:

\int_0^1 x\ln x\,dx = \left(0 - \frac{1}{4}\right) - 0 = -\frac{1}{4}

La potencia general xⁿ ln x

Los mismos pasos con dv = x^n\,dx y v = \frac{x^{n+1}}{n+1} dan

\int x^n\ln x\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C, \qquad n \ne -1
Integral Resultado
\int\ln x\,dx (n = 0) x\ln x - x + C
\int x^2\ln x\,dx \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C
\int\sqrt{x}\ln x\,dx \frac{2}{3}x^{3/2}\ln x - \frac{4}{9}x^{3/2} + C
\int\frac{\ln x}{x^2}\,dx (n = -2) -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1: un cubo. \int x^3\ln x\,dx = \frac{x^4}{4}\ln x - \frac{x^4}{16} + C, por la fórmula general con n = 3.

Ejemplo 2: el logaritmo de una potencia. \int x\ln(x^2)\,dx. Usa \ln(x^2) = 2\ln x para x > 0:

2\int x\ln x\,dx = x^2\ln x - \frac{x^2}{2} + C

Ejemplo 3: el caso n = −1. \int\frac{\ln x}{x}\,dx hace fallar la fórmula (habría que dividir entre cero). Usa en su lugar u = \ln x, du = \frac{dx}{x}: \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C.

Ejemplo 4: un logaritmo al cuadrado. \int x(\ln x)^2\,dx. Partes con u = (\ln x)^2, dv = x\,dx da \frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \int x\ln x\,dx, que ya sabes resolver:

\frac{x^2}{2}(\ln x)^2 - \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4} + C

Errores comunes

  1. Elegir u = x. Entonces v necesita \int\ln x\,dx, y la integral que queda es más difícil que la original.
  2. No simplificar \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}. Es \frac{x}{2}, cuya integral es \frac{x^2}{4}, no \frac{x^2}{2}.
  3. Integrar los factores por separado. \frac{x^2}{2}(x\ln x - x) no es el resultado.
  4. Usar la fórmula general con n = -1. Consulta el ejemplo 3.

Páginas relacionadas: la integral de ln x, la integral de x eˣ y la guía de integración por partes.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de x ln x?
Es \frac{x^2}{2}\ln x - \frac{x^2}{4} + C, que también se puede escribir \frac{x^2}{4}(2\ln x - 1) + C.

¿Cuál es la integral de x² ln x?
Es \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9} + C. Usa partes con u = \ln x y dv = x^2\,dx.

¿Cuánto vale la integral de x ln x entre 0 y 1?
Vale -\frac{1}{4}. En el límite inferior, \frac{x^2}{2}\ln x \to 0 cuando x \to 0^+, así que solo queda el -\frac{1}{4} del límite superior.

¿Por qué elegir u = ln x y no u = x?
Con u = x necesitarías v = \int\ln x\,dx = x\ln x - x, y la integral que queda se complica. Con u = \ln x, du = \frac{1}{x}dx cancela una potencia de x y deja una potencia sencilla para integrar.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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