Integral de √x: fórmula, deducción y ejemplos
La integral de √x es (2/3)x^(3/2) + C. Escribe la raíz como potencia, comprueba derivando y mira ejemplos con √(ax + b), 1/√x e integrales definidas.
Potencias, raíces y funciones racionales Actualizado 3 min de lectura
De un vistazo
- Antiderivada
- \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C = \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + C
- Reescribe primero
- \sqrt{x} = x^{1/2}
- Dominio
- x \ge 0
- Integral relacionada
- \int \dfrac{1}{\sqrt{x}}\,dx = 2\sqrt{x} + C
- Comprobación
- \dfrac{d}{dx}\dfrac{2}{3}x^{3/2} = x^{1/2}
En esta página
La integral de \sqrt{x} es \dfrac{2}{3}x^{3/2} + C. El truco está en escribir primero la raíz cuadrada como potencia.
Gráfica de √x y el área bajo ella
La región sombreada cabe dentro de un rectángulo de 4 por 2 y área 8. Ocupa exactamente dos tercios de él, y de ahí sale el \frac{2}{3}.
Deducción paso a paso
- Reescribe la raíz: \sqrt{x} = x^{1/2}.
- Usa la regla de la potencia inversa con n = \frac{1}{2}.
- Suma uno al exponente: \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.
- Divide entre \frac{3}{2}, es decir, multiplica por \frac{2}{3}: \frac{2}{3}x^{3/2}.
- Añade C.
Una segunda deducción: área cortando en horizontal
Hay una forma elegante de ver el \frac{2}{3} sin ninguna regla. La curva y = \sqrt{x} es la misma que x = y^2 para y \ge 0. Dibuja el rectángulo de (0, 0) a (b, \sqrt{b}). La curva lo divide en dos. La parte entre la curva y el eje y es el área bajo x = y^2 entre y = 0 e y = \sqrt{b}, que vale \frac{(\sqrt{b})^3}{3} por la integral de x². El rectángulo completo mide b\sqrt{b}, así que el área bajo \sqrt{x} es lo que queda:
Coincide con la fórmula. Además muestra por qué las dos áreas se reparten en la proporción 1 : 2.
Comprobación derivando
La regla en sentido directo está en la página de la derivada de √x.
Otras raíces y potencias de x
El mismo método funciona con cualquier raíz. Reescribe, sube la potencia y divide:
| Integrando | Como potencia | Integral |
|---|---|---|
| \sqrt{x} | x^{1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + C |
| \frac{1}{\sqrt{x}} | x^{-1/2} | 2x^{1/2} + C |
| x\sqrt{x} | x^{3/2} | \frac{2}{5}x^{5/2} + C |
| \sqrt[3]{x} | x^{1/3} | \frac{3}{4}x^{4/3} + C |
| \frac{x + 1}{\sqrt{x}} | x^{1/2} + x^{-1/2} | \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C |
Variante por sustitución: integral de √(ax + b)
Sea u = ax + b, de modo que du = a\,dx:
Por ejemplo, \int \sqrt{3x + 2}\,dx = \frac{2}{9}(3x + 2)^{3/2} + C. Comprobación: \frac{2}{9}\cdot\frac{3}{2}(3x+2)^{1/2}\cdot 3 = \sqrt{3x + 2}.
Un clásico: \int x\sqrt{x^2 + 1}\,dx = \frac{1}{3}(x^2 + 1)^{3/2} + C, con u = x^2 + 1.
Ejemplos de integrales definidas
Ejemplo 1. \int_1^9 \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}\left(9^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(27 - 1) = \frac{52}{3}.
Ejemplo 2. \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \Big[2\sqrt{x}\Big]_0^1 = 2. Es una integral impropia, porque \frac{1}{\sqrt{x}} se dispara en 0, pero el área sigue siendo finita.
Ejemplo 3. \int_0^4 (\sqrt{x} - 1)\,dx = \frac{16}{3} - 4 = \frac{4}{3}.
Errores comunes
- Aplicar la regla de la potencia directamente sobre el signo de raíz. Escribe primero x^{1/2}.
- Dividir entre \frac{1}{2} en lugar de \frac{3}{2}. Se divide entre el nuevo exponente, no entre el antiguo.
- Escribir \frac{3}{2}x^{3/2}. Dividir entre \frac{3}{2} da \frac{2}{3}, no \frac{3}{2}.
- Integrar \sqrt{x^2 + 1} como si fuera \sqrt{x}. Con un interior no lineal y sin factor que encaje, la sustitución no funciona. Esa integral necesita sustitución trigonométrica.
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