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Integrales trigonométricas

Integral de sen 2x: fórmula, deducción y ejemplos

La integral de sen 2x es -cos(2x)/2 + C. El cambio de variable, por qué sen² x + C y -cos² x + C también son correctas, e integrales definidas resueltas.

Integrales trigonométricas Actualizado 2 min de lectura

De un vistazo

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C
Antiderivada
-\dfrac{1}{2}\cos 2x + C
También correcto
\sin^2 x + C o -\cos^2 x + C
Método
u = 2x, du = 2\,dx
De 0 a π/2
1
Forma general
\int\sin(kx)\,dx = -\dfrac{1}{k}\cos(kx) + C
En esta página
  1. Gráfica de sen 2x y su antiderivada
  2. Deducción con cambio de variable
  3. Comprobación derivando
  4. Tres respuestas correctas
  5. Integrales definidas
  6. Ejemplos resueltos
  7. Errores comunes

La integral de \sin 2x es -\dfrac{1}{2}\cos 2x + C. Es la integral de sen x con un paso extra para tratar el 2 del interior.

\int \sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + C

Gráfica de sen 2x y su antiderivada

Área bajo y = sen 2x entre 0 y π/2, con la antiderivada y = -cos(2x)/2
El arco sombreado tiene área 1, la mitad del área bajo un arco de \sin x, porque está comprimido a la mitad de anchura. La antiderivada discontinua sube de -\frac{1}{2} a \frac{1}{2}.

Deducción con cambio de variable

  1. Sea u = 2x. Entonces du = 2\,dx, así que dx = \frac{1}{2}du.
  2. Sustituye: \displaystyle\int\sin 2x\,dx = \frac{1}{2}\int\sin u\,du.
  3. Integra: \frac{1}{2}(-\cos u) + C.
  4. Deshaz el cambio u = 2x: -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

Los mismos pasos dan la regla general \int\sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C. Consulta la regla de sustitución.

Comprobación derivando

\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{2}\cos 2x\right) = -\frac{1}{2}\cdot(-\sin 2x)\cdot 2 = \sin 2x \checkmark

El factor 2 de la regla de la cadena cancela el \frac{1}{2}. El sentido directo está en la página de la derivada de sen 2x.

Tres respuestas correctas

Usando la identidad del ángulo doble \sin 2x = 2\sin x\cos x:

  • Con u = \sin x, du = \cos x\,dx: \int 2u\,du = \sin^2 x + C.
  • Con u = \cos x, du = -\sin x\,dx: \int -2u\,du = -\cos^2 x + C.

Parecen distintas de -\frac{1}{2}\cos 2x, pero no lo son. Como \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1:

-\frac{1}{2}\cos 2x = \sin^2 x - \frac{1}{2} = -\cos^2 x + \frac{1}{2}

Así que las tres respuestas solo difieren en constantes. Eso está permitido: el +C absorbe la diferencia. Esto también explica por qué la derivada de sen² x es \sin 2x.

Integrales definidas

\int_0^{\pi/2}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\pi + \frac{1}{2}\cos 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1
\int_0^{\pi/4}\sin 2x\,dx = -\frac{1}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\int_0^{\pi}\sin 2x\,dx = 0

En una integral definida, las tres formas de la antiderivada dan el mismo número, porque la constante se cancela al restar.

Ejemplos resueltos

Ejemplo 1. \int(\sin 2x + \cos 2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x + C.

Ejemplo 2. \int 6\sin 3x\,dx = 6\cdot\left(-\frac{1}{3}\cos 3x\right) + C = -2\cos 3x + C.

Ejemplo 3: sen 2x cos x. Escríbelo como 2\sin x\cos^2 x y toma u = \cos x:

\int\sin 2x\cos x\,dx = -\frac{2}{3}\cos^3 x + C

Comprobación: \frac{d}{dx}\left(-\frac{2}{3}\cos^3 x\right) = 2\cos^2 x\sin x = \sin 2x\cos x.

Ejemplo 4: sen 2x cos 2x. Usa \sin 2x\cos 2x = \frac{1}{2}\sin 4x, así que la integral es -\frac{1}{8}\cos 4x + C.

Errores comunes

  1. Responder -\cos 2x + C. Has olvidado el \frac{1}{2}. Su derivada es 2\sin 2x.
  2. Responder -2\cos 2x + C. Eso multiplica por 2, que es lo que haría la derivada.
  3. Pensar que \sin^2 x está mal porque no coincide con el libro. Derívala: obtienes \sin 2x, así que es correcta.
  4. Escribir 2\sin x en lugar de \sin 2x. \sin 2x = 2\sin x\cos x, no 2\sin x.

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Preguntas frecuentes

¿Cuál es la integral de sen 2x?
La integral de \sin 2x es -\frac{1}{2}\cos 2x + C.

¿Por qué me sale sen² x al integrar sen 2x?
Si escribes \sin 2x = 2\sin x\cos x y usas u = \sin x, obtienes \sin^2 x + C. También es correcto, porque \sin^2 x = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2x, que solo se diferencia de -\frac{1}{2}\cos 2x en la constante \frac{1}{2}.

¿Cuánto vale la integral de sen 2x entre 0 y π/2?
Vale \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.

¿Cuál es la integral de 2 sen x cos x?
Es la misma integral, ya que 2\sin x\cos x = \sin 2x. Vale cualquiera de -\frac{1}{2}\cos 2x, \sin^2 x o -\cos^2 x, más C.

Escrito por el equipo de PracticeCalculus

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