Analyse 3 Lyon 1 (MAT2092L) : programme, guide et exercices

Analyse 3 (MAT2092L) est l'UE de l'Université Claude Bernard Lyon 1 qui donne leurs fondations rigoureuses aux outils vus en première année, puis les prolonge vers l'infini : intégrales généralisées et séries numériques. Ce guide relie chaque notion du programme à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre Analyse 3

Selon la fiche UE officielle, le programme comporte six parties. D'abord les nombres réels et les suites : bornes supérieure et inférieure, convergence des suites monotones bornées, suites extraites, théorèmes de Bolzano-Weierstrass et de Weierstrass, continuité uniforme. Ensuite l'intégrale de Riemann : fonctions en escalier et continues par morceaux, intégrale sur un segment, sommes de Riemann et théorème fondamental. Puis le calcul approché : méthodes des rectangles et des trapèzes, polynômes d'interpolation de Lagrange et formules de quadrature.

La seconde moitié porte sur les intégrales généralisées (Riemann et Bertrand, comparaison, convergence absolue, exemple semi-convergent, changement de variables et intégration par parties) et sur les séries numériques (séries à termes positifs, comparaison, critères de Cauchy et de d'Alembert, comparaison série-intégrale, produit de Cauchy, séries semi-convergentes et alternées). Le critère d'Abel est hors programme.

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est l'équivalent des chapitres intégrales impropres et séries d'un Calcul 2, avec la rigueur d'un cours de real analysis.

Plan des notions d'Analyse 3

Analyse 3 dans le parcours

Voir les guides d'Analyse 1 et d'Analyse 2.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 3

1. Méthode des trapèzes. Pour \int_0^1 x^2\,dx avec deux sous-intervalles (h = \frac{1}{2}) :

contre la valeur exacte \frac{1}{3}.

2. Intégrale généralisée par comparaison. Sur [1, +\infty[, 0 \leq \frac{1}{x^2 + x} \leq \frac{1}{x^2} et \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} converge, donc \int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2 + x} converge (elle vaut \ln 2).

3. Série alternée. La série \sum_{n \geq 1} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}} converge par le critère des séries alternées, car \frac{1}{\sqrt{n}} décroît vers 0. Elle n'est pas absolument convergente, puisque \sum \frac{1}{\sqrt{n}} diverge : elle est semi-convergente.

Comment réussir Analyse 3

• Connaissez les familles de référence : Riemann et Bertrand, pour les séries comme pour les intégrales.
• Vérifiez le signe avant de comparer. Les théorèmes de comparaison et d'équivalence ne valent que pour des fonctions ou des termes de signe constant.
• Entraînez-vous à choisir le bon critère avec la leçon Choisir un critère et nos exercices.
• Gardez le formulaire sous la main et relisez les erreurs fréquentes en calcul.

Astuce : une intégrale généralisée peut avoir deux bornes problématiques, comme \int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x}(1 + x)}. Coupez-la en deux et étudiez chaque morceau séparément.