Analyse 1 pour mathématiciens Lyon 1 (MAT1055L) : guide et exercices

Analyse 1 pour mathématiciens (MAT1055L) est l'UE d'analyse du premier semestre du Portail Mathématiques-Informatique (MI) de l'Université Claude Bernard Lyon 1. Elle fait passer des fonctions étudiées au lycée à une analyse plus précise, avec des définitions et des énoncés rigoureux. Ce guide relie chaque point du programme à des exercices interactifs, avec une correction immédiate.

Ce que couvre Analyse 1 pour mathématiciens

Selon la fiche UE officielle, le programme commence par les réels : inégalités, valeur absolue, inégalité triangulaire, intervalles, parties majorées, minorées et bornées, maximum et minimum, avec une première approche de la borne supérieure. Il étudie ensuite les fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R} (graphes, transformations, parité, périodicité, monotonie), la composition et les bijections (injectivité, surjectivité, image directe et réciproque).

Viennent les limites, la continuité et la dérivabilité (opérations sur les dérivées, lien entre signe de la dérivée et monotonie, théorème des valeurs intermédiaires), les fonctions usuelles et leurs réciproques (\ln, \exp, puissances, fonctions trigonométriques et hyperboliques, \arcsin, \arccos, \arctan) et les inéquations du second degré. La seconde partie porte sur les suites réelles (encadrement, suites adjacentes, suites arithmético-géométriques, critère de Cauchy), les limites de fonctions (caractérisation séquentielle), la comparaison asymptotique (équivalents, o, O, croissances comparées) et la continuité sur un intervalle (bornes atteintes, théorème de la bijection, dichotomie).

Par rapport à une séquence nord-américaine, c'est la partie limites et dérivées d'un Calcul 1, avec une couche de rigueur propre aux licences françaises.

Plan des notions d'Analyse 1

Le parcours d'analyse à Lyon 1

La suite directe est Analyse 2 pour mathématiciens, puis Analyse 3.

Exemples d'exercices au niveau d'Analyse 1

1. Une limite par croissances comparées.

car toute puissance positive de x l'emporte sur le logarithme.

2. Dérivée d'une réciproque. Pour f(x) = \arctan(2x) :

3. Valeurs intermédiaires. L'équation e^x = 2 - x a une solution dans [0, 1] : la fonction g(x) = e^x + x - 2 est continue, avec g(0) = -1 < 0 et g(1) = e - 1 > 0. Comme g est strictement croissante, cette solution est unique.

Comment réussir Analyse 1

• Faites les TD en entier. Avec 36 h de TD prévues, c'est là que se construit l'essentiel. Complétez avec nos exercices.
• Maîtrisez les fonctions usuelles : domaine, dérivée, limites et graphe. Le formulaire les résume.
• Apprenez à manipuler les équivalents, mais pas dans une somme : c'est l'une des erreurs fréquentes en calcul.
• Écrivez chaque définition avec ses quantificateurs avant une démonstration de limite ou de continuité.

Astuce : pour montrer qu'une équation f(x) = 0 a exactement une solution, combinez le théorème des valeurs intermédiaires (existence) et la stricte monotonie (unicité). C'est exactement le théorème de la bijection du programme.